1、2015年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（） A （1，1） B （1，1） C D 【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：=，复数对应的点的坐标为（1，1），故选：A【点评】： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）在等比数列an中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（） A 2 B 1或2 C 1 D 1或
2、2【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由题意可得q的一元二次方程，解方程可得【解析】： 解：等比数列an中，a3+a4=4，a2=2，a3+a4=2q+2q2=4，q2+q2=0，解得q=1或q=2故选：B【点评】： 本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题3（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（） A B C D 【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程【解析】： 解：双
3、曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：故选：C【点评】： 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力4（5分）当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（） A 7 B 10 C 11 D 16【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m5，退出循环，输出S的值为11，从而得解【解析】： 解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m5，S=2，m=2满足条件m5，S=4，m=3
4、满足条件m5，S=7，m=4满足条件m5，S=11，m=5不满足条件m5，退出循环，输出S的值为11故选：C【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查5（5分）在极坐标系中，曲线26cos2sin+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（） A B C D 4【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果【解析】： 解：曲线26cos2sin+6=0转化成直角
5、坐标方程为：x2+y26x2y+6=0由于曲线与极轴交于A，B两点，设交点坐标为：A（x1，0），B（x2，0），令y=0，则：x26x+6=0，所以：x1+x2=6，x1x2=6则：|AB|=|x1x2|=2故选：B【点评】： 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点角的距离公式的应用，及相关的运算问题6（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（） A 4 B 5 C D 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可
6、【解析】： 解：三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3故选：D【点评】： 本题考查几何体任意两个顶点间距离的最大值，三视图复原的几何体的形状是解题的关键7（5分）将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（） A B C y=cosx D 【考点】： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据“左
7、加右减，上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可【解析】： 解：将函数图象向左平移个长度单位，得到的函数解析式为：y=cos（x+）=cos；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是：y=cosx故选：C【点评】： 本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，属于基本知识的考查8（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且BAC=90，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（） A 最大值是，最小值是4 B 最大值是8，最小值是4 C 最大值
8、是，最小值是2 D 最大值是8，最小值是2【考点】： 两点间距离公式的应用【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件BAC=90，可得x2bx+y2cy=0，又b2+c2=32，可得A的轨迹方程为（x）2+（y）2=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值【解析】： 解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），则由BAC=90，可得x（xb）+y（yc）=0，即为x2bx+y2cy=0，又|BC|=4，即有b2+c2=32，即有A的轨迹方程为（x）2+（y）2=8，设x=+2cos，y=+2sin，（0），则有
9、x2+y2=（b2+c2）+8+2bcos+2csin=16+2（bcos+csin），令b=4sin，c=4cos（0），则有x2+y2=16（cossin+sincos）=16+16sin（+），当+=时，取得最大值32，即有|AO|最大为4，当+=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，故选：A【点评】： 本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）定积分【考点】： 定积分【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据定积分的计算法则计算即可【解析】
10、： 解：（x2+sinx）|=故答案为：【点评】： 本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题10（5分）已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 计算题；二项式定理【分析】： 由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项【解析】： 解：由题意知：得2n=16，n=4；展开式的通项为Tr+1=，令42r=0得r=2展开式中的常数项为24故答案为：4，24【点评】： 本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决
11、二项展开式的特定项问题11（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，2）将C（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+2=6即z=2x+y的最大值为6故答案为：6【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几
12、何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22x，如果函数g（x）=f（x）m（mR） 恰有4个零点，则m的取值范围是（1，0）【考点】： 根的存在性及根的个数判断【专题】： 计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】： 函数g（x）=f（x）m（mR） 恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象求解【解析】： 解：函数g（x）=f（x）m（mR） 恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象如下，故m的取值范围是（1，0）；故答案为：（1
13、，0）【点评】： 本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于基础题13（5分）如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=3；AD=【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 选作题；立体几何【分析】： 由切割线定理可得CD2=CBCA，求出CD，再利用余弦定理求出AD【解析】： 解：CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，由切割线定理可得CD2=CBCA=19，CD=3；连接OD，则ODDC，cosCOD=，cosAOD=，AD=故答案为：3，【点评】： 本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等14
14、（5分）已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）如果集合A=（x，y）|x+y=1（0x1），点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D=P|0d（P，A）1所表示的图形的面积为6+【考点】： 两点间距离公式的应用【专题】： 新定义；直线与圆；集合【分析】： 如果集合A=（x，y）|x+y=1（0x1），设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D=P|0d（P，A）1所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和
15、三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到【解析】： 解：如果集合A=（x，y）|x+y=1（0x1），设Q（x，y），点P的坐标为（2，0），则|PQ|=，由于0x1，即有x=1取得最小值1，那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，若P在正三角形及其内部，则面积为0，若PA，则点集D=P|0d（P，A）1所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，即有面积为321+3=6+，故答案为：1，6+【点评】： 本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题
16、二、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数（0）的最小正周期为（）求的值及函数f（x）的最大值和最小值；（）求函数f（x）的单调递增区间【考点】： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性【专题】： 常规题型；三角函数的图像与性质【分析】： 先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间【解析】： 解：（）f（x）=cos2+sin=sin（）因为T=，0，所以=2因为f（x）=sin（2x+），x
17、R，所以所以函数f（x）的最大值为1，最小值为1 （）令2k，kZ，得2k，kZ，所以k，kZ所以函数f（x）的单调递增区间为，kZ【点评】： 本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式16（13分）（2015高密市模拟）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80R150，B：150R250，C：R250甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概
18、率为（）求p，q的值；（）求甲、乙选择不同车型的概率；（）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列【考点】： 离散型随机变量及其分布列；概率的应用【专题】： 概率与统计【分析】： （）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值（）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率（）X 可能取值为7，8，9，10分别求解概率，即可得到分布列【解析】： 解：（）由题意可得解得， （4分）（）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=答：所以甲、乙选择
19、不同车型的概率是 （7分）（）X 可能取值为7，8，9，10P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=； P（X=10）=所以X的分布列为：（13分）【点评】： 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力17（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由【考点】： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【专题】：
20、探究型；空间位置关系与距离【分析】： （）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CEDG，由DG平面PAD，CE平面PAD，即证明CE平面PAD（）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解（）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由=0，可解a，然后求得的值【解析】： （本小题共14分）解：（）设PA中点为G，连结EG，DG因为PABE，且PA=4，BE=2，所以BEAG且BE=AG，所
21、以四边形BEGA为平行四边形所以EGAB，且EG=AB因为正方形ABCD，所以CDAB，CD=AB，所以EGCD，且EG=CD所以四边形CDGE为平行四边形所以CEDG因为DG平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD（4分）（）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，4），=（4，0，2），=（0，4，4）设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得令x=1，则，所以=（1，1，2）设PD与平面PCE所成角为a，则sin=|cos，|=|=|=所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 （9分）（
22、）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，4，2）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则令x=2，则，所以=（2，a4）因为平面DEF平面PCE，所以=0，即2+2a8=0，所以a=4，点所以 （14分）【点评】： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题18（13分）设函数f（x）=exax，xR（）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）在（）的条件下，求证：f（x）0；（）当a1时，求函数f（x）在0，a上的最大值【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函
23、数的最值【专题】： 函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： （）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值【解析】： 解：（）当a=2时，f（x）=ex2x，f（0）=1，f（x）=ex2，即有f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为f（0）=e02=1，即有f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1=（x0），即为x+y1=0；（）证明：
24、f（x）=ex2，令f（x）=0，解得x=ln2，当xln2时，f（x）0，f（x）递减，当xn2时，f（x）0，f（x）递增即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为eln22ln2=22ln20，即有f（x）0；（）由于f（x）=exax，f（x）=exa，令f（x）=0，解得x=lna0，当a1，令M（a）=alna，M（a）=1=0，M（a）在（1，+）递增，又M（1）=1ln1=0，M（a）=alna0，即有a1，alna，当0xlna时，f（x）0，f（x）递减，lnaxa时，f（x）0，f（x）递增即有x=lna处f（x）取得最小值；f（0）=e00=1，f（a）=ea
25、a2，令h（a）=f（a）f（0）=eaa21，a1时，h（a）=ea2a0，h（1）=e11=e20，h（a）=eaa210，当a1时，f（a）f（0），则有当a1时，f（x）在0，a上的最大值为f（a）=eaa2【点评】： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题19（14分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点直线l：y=k（x1）与椭圆C相交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专
26、题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值【解析】： 解：（）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2又因为e=，所以c=所以b=1，所以椭圆C的方程为 （4分）（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x24，y1+y2），所以M（x1+x22，y1+y2）由直线l：y=k（x1）与椭圆C联立，得（4k2+
27、1）x28k2x+4k24=0，得x1+x22=，y1+y2=，即M（，）设N（0，y3），则MN中点坐标为（，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（1），解得y3=2k，即N（0，2k）由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k= （14分）【点评】： 本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题20（13分）如果数列A：a1，a2，am（mZ，且m3），满足：aiZ，（i=1，2，m）；a1+a2+am=1，那么称数列A为“”数列（）已知数列M：2，1，3，1；数列N：0，1，
28、0，1，1试判断数列M，N是否为“”数列；（）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论；（）如果数列A是“”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0【考点】： 数列的应用【专题】： 新定义；探究型；等差数列与等比数列【分析】： （）根据定义直接判断即可得解（）假设存在等差数列是“”数列，由a1+a2+am=1，得a1+am=Z，与aiZ矛盾，从而可证不存在等差数列为“”数列（）将数列A按以下方法重新排列：设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（nZ且1nm），任取大于0的一项作为第一项，则满足+1S1，然后利用反证法，证明即可【解析】： （本小题共13分）解：（）数列M不是“”数列；数列
29、N是“”数列 （2分）（）不存在一个等差数列是“”数列证明：假设存在等差数列是“”数列，则由a1+a2+am=1 得a1+am=Z，与aiZ矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“”数列 （7分）（）将数列A按以下方法重新排列：设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（nZ且1nm），任取大于0的一项作为第一项，则满足+1S1，假设当2nm时，若Sn1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证+1Sn，若Sn10，则剩下的项必有0或与Sn1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与Sn1异号的一项作为第n项，可以保证+1Sn如果按上述排列后存在Sn=0成立，那么命题得证；否则S1，S2，Sm这m个整数只能取值区间+1，内的非0整数，因为区间+1，内的非0整数至多m1个，所以必存在Si=Sj（1ijm），那么从第i+1项到第j项之和为SiSj=0，命题得证综上所述，数列A中必存在若干项之和为0 （13分）【点评】： 本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题
