1、平面与平面垂直(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么()A.直线a垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D.过a的平面必垂直于过b的平面【解析】选C.直线a与直线b均不一定垂直两面的交线.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点F,作FEA1B1于E,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.
2、由于长方体中平面ABB1A1平面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.3.在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.过点A作AHBD于点H,由平面ABD平面BCD,得AH平面BCD,则AHBC.又DA平面ABC,所以BCAD,又因为AHAD=A,所以BC平面ABD,所以BCAB,即ABC一定为直角三角形.4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1()A.平行B
3、.共面C.垂直D.不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BDAC.因为平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,BD平面ABCD,所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C,所以BDCC1.5.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与中两条相交直线垂直时结论才成立.6.(多选题)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆
4、周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.以下四个结论中正确的为()A.PA平面MOBB.MO平面PACC.OC平面PACD.平面PAC平面PBC【解析】选BD.因为PA平面MOB,所以选项A不正确;因为MOPA,而且MO平面PAC,所以选项B正确;OC不垂直于AC,所以选项C不正确;因为BCAC,BCPA,ACPA=A,所以BC平面PAC,所以平面PAC平面PBC,所以选项D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在四面体ABCD中,ABAD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD平面BCD,M为AB中点,则线段CM的长为_.【解析】如图所示,取BD的中
5、点O,连接OA,OC,因为AB=AD=BC=CD=1,所以OABD,OCBD.又平面ABD平面BCD,所以OA平面BCD,OAOC.又ABAD,所以DB=.取OB中点N,连接MN,CN,所以MNOA,MN平面BCD.因为CN2=ON2+OC2,所以CM=.答案:8.(双空题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-D的大小为_;直线AC1与平面ABCD所成的角的正切值为_.【解析】二面角C1-AB-D的平面角为C1BC=45,由线面角的定义知直线AC1与平面ABCD所成的角为C1AC,故正切值为.答案:45三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,平面PAB平面ABC,平面
6、PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA平面ABC;(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.【证明】(1)在平面ABC内任取一点D,作DFAC于点F,作DGAB于点G.因为平面PAC平面ABC,且交线为AC,所以DF平面PAC.因为PA平面PAC,所以DFPA.同理可证,DGPA.因为DGDF=D,所以PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是PBC的垂心,所以PCBH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PCAE.因为BHAE=E,所以PC平面ABE,所以PCAB.又因为PA平面ABC,所以PAAB.因为PAPC=P,所以AB平面PAC.所以A
7、BAC,即ABC是直角三角形.【补偿训练】如图,=l,AB,ABl,BC,DE,BCDE.求证:ACDE.【证明】因为,=l,AB,ABl,所以AB.因为DE,所以ABDE.因为BCDE,ABBC=B,所以DE平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACDE.10.(2017北京高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA= AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)因为PAAB,PABC,AB平面ABC,BC平面ABC,且ABBC=B,所
8、以PA平面ABC,BD平面ABC,所以PABD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BDAC,由(1)知PA平面ABC,因为PA平面PAC,所以平面PAC平面ABC,因为平面PAC平面ABC=AC,BD平面ABC,BDAC,所以BD平面PAC,因为BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,又DE=平面BDE平面PAC,PA平面PAC,所以PADE,因为D是AC的中点,所以E为PC的中点,所以DE=1,所以SBDC=SABC=22=1,VE-BCD=1DE=11=.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选
9、错的得0分)1.已知直线l平面,直线m平面,若,则下列结论正确的是()A.l或lB.lmC.mD.lm【解析】选A.对于A.直线l平面,则l或l,A正确;对于B.直线l平面,直线m平面,且,则lm或l与m相交或l与m异面,所以B,D错误;对于C.直线l平面,直线m平面,且,则m或m与相交或m或m,所以C错误.2.,表示平面,a,b表示直线,若,且与相交但不垂直,则()A.b,bB.b,bC.a,aD.a,a【解析】选D.设=l,根据面面垂直的性质定理,只有内与l垂直的直线b才与垂直,故A错误.内与l垂直的直线b与相交,b与不平行,B错误.假若a,a,根据面面垂直的判定定理,可以得出,与与相交但
10、不垂直矛盾,C错误.设与相交于m,则在内与m平行的直线a与平行,D正确.3.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,M为CD的中点,则AMD的大小是()A.45B.30C.60D.90【解析】选D.由题意画出图形,如图,设正方形的边长为2,折叠前后AD=2,DM=1,连接AC交BD于O,连接OM,则OM=1,AO=,因为正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD平面CBD,AOBD,所以AO平面BCD,所以AOOM,在RtAOM中,AM=,又AD=2,MD=1,所以DM2+AM2=AD2,所以AMD=90.4.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,表示平面,下列命题中是
11、真命题的是()A.若ab,bc,则acB.若ab,ac,则bcC.若a,b,则abD.若a,b,则ab【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足ab,bc,但是ac,所以A错误;对于B,若ab,ac,则bc,满足平行线公理,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示,边长为2a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有_.(填上所有正确结论的序号
12、)动点A在平面ABC上的射影在线段AF上.三棱锥A-FED的体积有最大值.恒有平面AGF平面BCED.异面直线AE与BD不可能互相垂直.【解析】因为DEAG,DEGF,AGGF=G,所以DE平面AGF,又DE平面BCED,所以平面AGF平面BCED,故正确.过A作AHAF,垂足为H(图略),则AH平面AGF,所以AHDE,又DEAF=G,所以AH平面ABC,故正确.三棱锥A-FED的底面FED的面积是定值,高是点A到平面FED的距离.易证当AG平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A-FED的体积最大,故正确.易知BDEF,所以AEF是异面直线AE与BD所成的角.正ABC的边长为2a,AE=a,
13、EF=a,而AF的长度的取值范围是(0,a),当AF=a时,AE2+EF2=AF2,AEF=90,此时直线AE与BD互相垂直,故错误.答案:6.如图,在ABCD中,ABBD,沿BD将ABD折起,使平面ABD平面BCD,连接AC.在四面体A-BCD的四个面中,写出互相垂直的两对平面:_和_.【解析】在平行四边形ABCD中,因为ABCD,ABBD,所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,CD平面BCD.所以CD平面ABD.又CD平面ACD,所以平面ACD平面ABD.因为ABBD,平面ABD平面BCD,所以平面ABC平面BCD,所以共有3对互相垂直的平面,选其中两对即可
14、.答案:平面ACD平面ABD平面ABC平面BCD(答案不唯一)三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.【证明】(1)因为平面PAD底面ABCD,平面PAD底面ABCD=AD,PA平面PAD,PAAD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E是CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形,所以BEAD.又BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面
15、PAD.(3)因为ABAD,四边形ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.因为PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF,所以CDEF.因为CDBE,EFBE=E,所以CD平面BEF.因为CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD.8.在BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E、F分别是AC、AD上的动点,且=(01).(1)求证:不论为何值,总有平面BEF平面ABC;(2)当为何值时,平面BEF平面ACD?【解析】(1)因为AB平面BCD,所以ABCD.因为CDBC,且ABBC=B,所以CD平面ABC.又=(01),所以不论为何值,恒有EFCD,所以EF平面ABC.又EF平面BEF,所以不论为何值,总有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知,EFBE,又平面BEF平面ACD,所以BE平面ACD,所以BEAC.因为BC=CD=1,BCD=90,ADB=60,AB平面BCD,所以BD=,AB=tan 60=,所以AC=,由AB2=AEAC得AE=,所以=,故当=时,平面BEF平面ACD.
