1、(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d为()A2B3C4D5解析:选C.设通项公式为an23(n1)d,由题意列不等式组解得d.d是整数,d4. 2若等比数列an满足anan116n,则公比为()A2B4C8D16解析:选B.由anan116n,知a1a216,a2a3162,后式除以前式得q216,q4.a1a2aq160,q0,q4.3已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,则a20等于()
2、A1B1C3D7解析:选B.a1a3a53a3105,a335,a2a4a63a499,a433,da4a333352,a20a317d3517(2)1.4(2014曲阜高二检测)在等差数列an中,前n项和为Sn,S1090,a58,则a4()A16B12C8D6解析:选D.设等差数列an的首项为a1,公差为d,则解得a4a13d0326.5在等比数列an中,若an0,且a21a1,a49a3,则a4a5的值为()A16B81C36D27解析:选D.设等比数列an的公比为q且q0,由已知得q29q3,所以a1,所以a4a5333427.6一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第
3、2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A 55 986只B46 656只C216只D36只解析:选B.设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an1ban,a16,则an是公比为6的等比数列,则a6a1q566546 656.7(2014泰安高二检测)等差数列an的首项为a1,公差为d,Sn为前n项和,则数列是()A首项为a1,公差为d的等差数列B首项为a1,公比为d的等比数列C首项为a1,公差为的等差数列D首项为a1,公比为的等比数列解析:选C.Snna1d,a1(n1),是以a1为首项,为公差的等差数列8已
4、知Sn1234(1)n1n,则S17S33S50等于()A0B1C1D2解析:选B.S171234178179,S33123433163317,S5012345025,S17S33S50917251.9已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,以Sn表示an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A21B20C19D18解析:选B.设等差数列an的公差为d,由a1a3a5105,a2a4a699得,3d6,d2,3a16d105,a139,an39(n1)(2)412n.又a200,a210且d20,当n20时,Sn最大10(2012高考福建卷)数列an的通项公式anncos
5、,其前n项和为Sn,则S2 012等于()A1 006B2 012C503D0解析:选A.由题意知,a1a2a3a42,a5a6a7a82,a4k1a4k2a4k3a4k42,kN,故S2 01250321 006.二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分把答案填在题中的横线上)11.1与1的等比中项是_解析:设1与1的等比中项为G,则G2(1)(1)1,G1.答案:112等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列an的公比为_解析:由题意,知4S2S13S3.当q1时,42a1a133a1.即8a110a1,a10不符合题意,q1;当q1时,应有43,化
6、简得3q2q,得q或q0(舍去)答案:13已知数列an为等比数列,Sn是它的前n项和若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于_解析:设数列an的公比为q,则a2a3aq3a1a42a1a42,a42a7a42a4q324q32q.故a116,S531.答案:3114在数列an和bn中,bn是an和an1的等差中项,a12且对任意nN*都有3an1an0,则数列bn的通项bn_解析:由3an1an0可得(nN*),数列an是公比为的等比数列因此an2.故bn(anan1)4.答案:415某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此
7、首层价格为a1元/m2,顶层由于景观好价格为a2元/m2,第二层价格为a元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2,则该商品房各层的平均价格为_元/m2.解析:设第二层到第22层的价格构成数列bn,则bn是等差数列,b1a,公差d,共21项,所以其和为S2121a23.1a,故平均价格为(a1a223.1a)元/m2.答案:(a1a223.1a)三、解答题(本大题共5小题,共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)数列an的前n项和记为Sn,点(n,Sn)在曲线f(x)x24x(xN*)上求数列an的通项公式解:由点(n,Sn)在曲线f(x)x24
8、x(xN*)上知,Snn24n,当n2时anSnSn1n24n(n1)24(n1)2n5;当n1时,a1S13,满足上式;数列an的通项公式为an2n5.17(本小题满分10分)已知数列log2(an1)(nN*)为等差数列,且a13,a39.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:1.解:(1)设等差数列log2(an1)的公差为d.由a13,a39,得log2(91)log2(31)2d,则d1.所以log2(an1)1(n1)1n,即an2n1.(2)证明:因为,所以11.18(本小题满分10分)(2014湖北省华师一附中段考)等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列
9、(1)求数列an的公比q;(2)若a1a33,求Sn.解:(1)依题意有2S3S1S2;即a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10,故2q2q0.又q0.从而q.(2)由(1)及已知可得a1a1()23,得a14,从而Sn1()n19(本小题满分10分)已知数列an的前n项和为Sn,且a11,an1Sn(n1,2,3,)(1)求数列an的通项公式;(2)当bnlog(3an1)时,求证:数列的前n项和Tn.解:(1)由已知(n2),得an1an(n2)数列an是以a2为首项,以为公比的等比数列又a2S1a1,ana2(n2)an(2)证明:bnlog(3an1)logn.,Tn1.
10、20(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2n2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?解:(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.则有a1a,当n2时,an(n2n2)(n1)2(n1)2(n1)a,anbnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)a(nN*)(2)易知bn3a,所以乙超市将被甲超市收购,由bnan得:a(n1)a.n47,n7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购