1、15全称量词与存在量词新课程标准解读核心素养1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义数学抽象、逻辑推理2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定数学抽象3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定数学抽象15.1全称量词与存在量词观察下列语句：(1)x3；(2)2x1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)存在一个xR，2x1是整数问题比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？知识点一全称量词与全称量词命题全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等符号全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”
2、全称量词命题含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分” 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题()(2)命题“三角形的内角和是180”是全称量词命题()(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题()答案：(1)(2)(3)2将命题“x2y22xy”改写为全称量词命题为_解析：命题“x2y22xy”是指对任意x，yR，都有x2y22xy成立，故命题“x2y22xy”改写成全称量词命题为：对任意x，yR，都有x2y22xy成立
3、答案：对任意x，yR，都有x2y22xy成立知识点二存在量词与存在量词命题存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等符号存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题()(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题()(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题()答案：(1)(2)(3)
4、2下列语句是存在量词命题的是_(填序号)任意一个自然数都是正整数；存在整数n，使n能被11整除；若3x70，则x；有些函数为奇函数答案：全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|ab|a|b|；(5)方程3x2y10有整数解解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题(4)含存在量
5、词“有些”，故为存在量词命题(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路注意全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略 跟踪训练用量词符号“”或“”表述下列命题：(1)不等式x2x10恒成立；(2)当x为有理数时，x2x1也是有理数；(3)对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除解：(1)xR，x2x10.(2)xQ，x2x1是有理数(3)a，bR，方程axb0恰有一解(4)xZ，x既能被2整除，又能被3整除全称量词命题、存在量词命题的真假判断例2指出下列命题
6、中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)有的集合中存在两个相同的元素；(2)a，bR，(ab)(a2abb2)a3b3；(3)存在一个xR，使0；(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin AcosB.解析(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题(2)是全称量词命题，a，bR，(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3是真命题(3)是存在量词命题，因为不存在xR，使0成立，所以该命题是假命题(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin Acos B，是真命题全称量词命题与存在
7、量词命题真假的判断技巧(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题 跟踪训练1下列是存在量词命题且是真命题的是()AxR，x20BxZ，x22CxN，x2N Dx，yR，x2y20是全称量词命题，不合题意；对于B，xZ，x22是存在量词命题，且是真命题，满足题
8、意；对于C，xN，x2N是全称量词命题，不合题意；对于D，x，yR，x2y20是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.2(多选)下列结论中正确的是()AnN*，2n25n2能被2整除是真命题BnN*，2n25n2不能被2整除是真命题CnN*，2n25n2不能被2整除是真命题DnN*，2n25n2能被2整除是真命题解析：选CD当n1时，2n25n2不能被2整除，当n2时，2n25n2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确故选C、D.由含量词命题的真假求参数范围例3命题p：存在实数xR，使得方程ax22x10成立若命题p为真命题，求实数a的取值范围解当a0时，方程为2x10，显然有实数根，满足
9、题意；当a0时，由题意可得ax22x10有实根，得44a0，解得a1，且a0.综上可得a1，即实数a的取值范围是a|a1由含量词的命题的真假求参数范围的策略(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式，确定参数的取值范围；(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决 跟踪训练已知命题p：x，a0是真命题，求实数a的取值范围解：a0，a，由题意知a，又x，12，a1.故实数a的取值范围为a|a11下列命题中是真命题的是()AxR，x210 BxR，3x1是整数CxR，|x|3 DxQ，x2Z解析：选BA是假命题，
10、因为xR，x211；B是真命题，当x1时，3x14是整数；C是假命题，如x2时，|x|3；D是假命题，如x，x2Z.2下列命题中，是全称量词命题的是_；是存在量词命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数解析：可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；是存在量词命题答案：3指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)存在一个实数，使等式x2x80成立；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交解：(1)存在量词命题因为x2x80.所以该命题为假命题(2)全称量词命题，如函数yx21的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题
