1、第三章 第三讲时间:60分钟满分:100分一、选择题(8540分)1(2009北京西城4月)若数列an是公比为4的等比数列,且a12,则数列log2an是()A公差为2的等差数列B公差为lg 2的等差数列C公比为2的等比数列D公比为lg 2的等比数列答案:A解析:数列an是公比为4的等比数列,且a12,则log2an1log2anlog22,则数列log2an是以1为首项,公差为2的等差数列,故选A.2(2009河南实验中学3月)设各项都为正数的等比数列an中,若第五项与第六项的积为81,则log3a1log3a2log3a10的值是()A5B10C20D40答案:C解析:由题意得a5a681
2、,再根据等比数列的性质,log3a1log3a2log3a10log3a1a2a10log3(a5a6)520.故选C.3(2009河南六市一模)设各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn,若S1010,S3070,则S40()A150 B200C150或200 D400或50答案:A解析:由题意得S10,S30,1q10q207,则q102,10,S4010(15)150,故选A.4(2009郑州二模)在等比数列an中,若a1a2a3a4,a2a3,则()A. B. C D答案:C解析:在等比数列an中,由于a1a2a3a4,a2a3,且a1a4,则,故选C.5(2009辽宁,6)设等比数
3、列an的前n项和为Sn,若3,则()A2 B. C. D3答案:B解析:由等比数列的性质:S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,于是,由S63S3,可推出S9S64S3,S97S3,.故选B.6(2009广东,5)已知等比数列an的公比为正数,且a3a92a,a21,则a1()A. B. C. D2答案:B解析:a3a92aa,.又a21a1,a1,故选B.7已知等比数列an的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S220,S336,S465,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为()AS1 BS2 CS3 DS4答案:C解析:an是等比数列,a18.由S2a1a2a1(1q)20,则
4、q.同理由S336q.由S465q.显然S3算错了故选C.8设数列an是首项为m,公比为q(q1)的等比数列,Sn是它的前n项和,对任意的nN*,点()A在直线mxqyq0上B在直线qxmym0上C在直线qxmyq0上D不一定在一条直线上答案:B解析:由得qny1代入得:x(y1),即qxmym0,故选B.总结评述:此题的本质是一个参数方程问题,利用等比数列构造出一个参数方程,然后消去参数二、填空题(4520分)9由正数组成的等比数列an中,a1,a2a49,则a5_,S3_.答案:27解析:an0,a2a4a9a33.由a1a5aa527.由aa1a31a21,S3.10(2009全国,13
5、)设等比数列an的前n项和为Sn.若a11,S64S3,则a4_.答案:3解析:设等比数列的公比为q.当q1时,6a143a1a10(舍)当q1时,由S64S341q34q33a4a1q33.11(2009浙江,11)设等比数列an的公比q,前n项和为Sn,则_.答案:15解析:a4a1()3a1,S4a1,15.12在等比数列an中,已知a1a2a38,a1a2a67,则公比q_.答案:解析:a1a2a38,a1a2a3a4a5a67,a4a5a61.q3,q.三、解答题(41040分)13已知等比数列an,a28,a5512.(1)求an的通项公式;(2)令bnlog2an,求数列bn的前
6、n项和Sn.解析:(1)设数列an的公比为q,由a28,a5512,可得a1q8,a1q4512.解得a12,q4.所以数列an的通项公式为an24n1.(2)由an24n1,得bnlog2an2n1.所以数列bn是首项b11,公差d2的等差数列故Snnn2.即数列bn的前n项和Snn2.14已知实数列an是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)数列an的前n项和记为Sn,证明:Sn128(n1,2,3,)解析:(1)设等比数列an的公比为q(qR),由a7a1q61,得a1q6,从而a4a1q3q3,a5a1q4q2,a6a1q5q1.因为a4
7、,a51,a6成等差数列,所以a4a62(a51),即q3q12(q21),q1(q21)2(q21),所以q.故ana1qn1q6qn164()n1.(2)Sn1281()n128.15已知数列an中,a1,a2并且数列log2(a2),log2(a3),log2(an1)是公差为1的等差数列,而a2,a3,an1是公比为的等比数列,求数列an的通项公式分析:由数列log2(an1)为等差数列及等差数列的通项公式,可求出an1与an的一个递推关系式;由数列an1为等比数列及等比数列的通项公式,可求出an1与an的另一个递推关系式.解两个关系式组成的方程组,即可求出an.解:数列log2(an
8、1)是公差为1的等差数列,log2(an1)log2(a2a1)(n1)(1)log2()n1(n1),于是有an12(n1)又数列an1an是公比为的等比数列,an1an(a2a1)3(n1)()3(n1)3(n1)于是有an1an3(n1)由可得an2(n1)3(n1),an.16(2009陕西,21)已知数列an满足a11,a22,an2,nN*.(1)令bnan1an,证明:bn是等比数列;(2)求an的通项公式解析:(1)证明:b1a2a11,当n2时,bnan1anan(anan1)bn1,bn是以1为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1an()n1,当n2时,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11()()n2111()n1()n1,当n1时,()111a1,an()n1(nN*)