1、1.3.2函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值.建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)函数极值的
2、求法.建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数y=f(x)在区间内单调递增;(2)函数y=f(x)在区间内单调递减;(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;(5)当x=-时,函数y=f (x)有极大值.则上述判断中正确的是.解析:由导函数的图象知:当x(-,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x (2,4)时,f(x)0,f(x)单调递增;在x=-2时,f(x)取极小值;在x=2时,f(x)取极
3、大值;在x=4时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确.答案:(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.解:因为f(x)=3x2+2ax+b,所以f(-2)=3(-2)2+2a(-2)+b=0.所以12-4a+b=0.又f(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.又f(x)过(1,0)点,所以13+a12+b1+c=0,所以c=6.3.已知aR,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x
4、+(2a+1).令f(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0,即a4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1x2,f(x)=ex(x-x1)(x-x2).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)f(x1)为极大值f(x2)为极小值即此时f(x)有两个极值点.(2)当=0,即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2,f(x)=ex(x-x1)2.当x0;当xx1时,f(x)0.f(x)无极值点.(3)当0,即0a0,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.综上所述,当a4或a0时,f(x)有两个极值点;当0a4时,f(x)无极值点.
