1、2015-2016学年北京市和平街一中高二（上）月考数学试卷 （理科）（12月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1下列命题为真命题的是（）A平行于同一平面的两条直线平行B与某一平面成等角的两条直线平行C垂直于同一平面的两条直线平行D垂直于同一直线的两条直线平行2过点P（4，1）且与直线3x4y+6=0垂直的直线方程是（）A4x+3y13=0B4x3y19=0C3x4y16=0D3x+4y8=03圆x2+y24x2y5=0的圆心坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（1，2）4抛物线4y2=x的准线方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=5中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个
2、焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）ABCD6已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ABCD7某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+128已知椭圆+=1以及下面三个函数f（x）=x；f（x）=sinx；f（x）=lgx其中图象能等分该椭圆面积的函数有（）A0个B1个C2个D3个二、填空题9底面直径和高都是4cm的圆柱的体积为cm310向量=（1，1，1），=（1，2，1），且k与3垂直，则k的值是11已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为12与双曲x2=1有共同的渐近线，且过点（2，2）
3、的双曲线标准方程为13过点P（1，6）且与圆（x+3）2+（y2）2=4相切的直线方程是14若直线xy=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线xy=0截得的弦长为，求圆的方程16在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AD中点，F为CC1中点（）求证：ADD1F；（）求证：CE平面AD1F；（） 求平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值17如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD
4、上的点，且DE=（01）（1）求证：对任意的（0，1，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为60，求的值18已知椭圆=1（ab0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点点P（2，1）为椭圆上一点，求PAB的面积的最大值2015-2016学年北京市和平街一中高二（上）月考数学试卷 （理科）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1下列命题为真命题的是（）A平行于同一平面的两条直线平行B与某一平面成等角的两条直线平行C垂直于同一平面的两条直线平行D垂直于同一直线的两条直
5、线平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】选项A、B、D均可以从正方体模型中找到反例，故都不正确选项C可以用反证法进行证明，故c正确【解答】解：如图1，A1C1平面ABCD，B1D1平面ABCD，但是A1OC1O=O，所以A错；A1O、C1O与平面ABCD所成角度大小相同，但是A1OC1O=O，所以B错；D1A1A1A，B1A1A1A，但是B1A1D1A1=A1，所以D错；如图2，假设a，b，且ab=A，则过一点有两条直线均垂直于平面，故假设不成立，即垂直于同一平面的两条直线平行，所以C正确故选C2过点P（4，1）且与直线3x4y+6=0垂直的直线方程是（）A4x+3y13=0B4x
6、3y19=0C3x4y16=0D3x+4y8=0【考点】直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为1即可求出斜率【解答】解：因为两直线垂直，直线3x4y+6=0的斜率为，所以所求直线的斜率k=则直线方程为y（1）=（x4），化简得4x+3y13=0故选A3圆x2+y24x2y5=0的圆心坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（1，2）【考点】圆的标准方程【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，再求出圆心坐标即可【解答】解：将方程x2+y24x2y5=0化为标准方程：（x2）2
7、+（y1）2=10，所以圆心坐标为（2，1）故选B4抛物线4y2=x的准线方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】抛物线的简单性质【分析】将抛物线4y2=x转化成标准方程，由准线的定义，即可求得其准线方程【解答】解：由抛物线4y2=x，即y2=x，即2p=，由准线方程的定义可知x=，故选：B5中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程【解答】解：中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是1，a=1，b2=
8、c2a2=31=2该双曲线的标准方程是y2=1故选A6已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆方程为（ab0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e=【解答】解：设椭圆方程为，（ab0）正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，焦距2c=AB，其中c=0BCAB，且BC=AB=2cAC=2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c椭圆的离心率e=故选A7某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+1
9、2D60+12【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B8已知椭圆+=1以及下面三个函数f（x）=x；f（x）=sinx；f（x）=lgx其中图象能等分该椭圆面积的函数有（）A0个B1个C2个D3个【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆与奇函数的图象的对称性质即可得出【解答】解：根据椭圆与奇函数图象的关于原点对
10、称性质：可得只有函数f（x）=x；f（x）=sinx的图象能等分该椭圆面积故满足条件的函数有两个故选：C二、填空题9底面直径和高都是4cm的圆柱的体积为16cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由于圆柱的底面是圆，求底面积根据圆的面积公式：s=r2，圆柱的体积=底面积高，把数据代入公式解答【解答】解：圆柱的底面直径和高都是4cm，圆柱的底面积：S=（42）2=4=4cm2；圆柱的体积：V=Sh=44=16cm3故答案为：1610向量=（1，1，1），=（1，2，1），且k与3垂直，则k的值是【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】利用向量的坐标运算性质、向量垂直与数量积的关系
11、即可得出【解答】解：k=（k+1，k2，k1），3=（4，7，2），k与3垂直，（k）（3）=4（k+1）7（k2）2（k1）=0，解得k=故答案为：11已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为【考点】椭圆的标准方程【分析】根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案【解答】解：方程表示椭圆，则 解得 k故答案为：12与双曲x2=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为=1【考点】双曲线的简单性质【分析】与x2=1有相同的渐近线的方程可设为x2=0，再把点P的坐标代入即可【解答】解：依题设所求双曲线方程为x2=0，双曲线过点（2，2），4=
12、3所求双曲线方程为x2=3，即为=1故答案为：=113过点P（1，6）且与圆（x+3）2+（y2）2=4相切的直线方程是3x4y+27=0或x=1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心和半径，根据直线与圆相切时切圆心O到直线的距离等于半径列出关于k的方程，解出k的值即可【解答】解：由题知：圆心O的坐标为（3，2），半径为2当切线斜率不存在时，显然直线x=1是过P且与圆相切的方程当直线斜率存在时，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y6=k（x+1）即kxy+6+k=0圆心（3，2）到切线的距离d=2，化简得（2k4）2=4（1+k2），解得k=，则切线方程为y6=（x+1）化简得3
13、x4y+27=0所以切线方程为：3x4y+27=0或x=1故答案为：3x4y+27=0或x=114若直线xy=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（4，2）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，再根据y=x2得到y1+y2，利用中点坐标公式整体代入即可求出线段AB的中点坐标【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，消去y得到x28x+4=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，则y1+y2=x1+x24=4中点坐标为（，）=（4，2）故答案为：（4，2）三、解答题（共4
14、小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线xy=0截得的弦长为，求圆的方程【考点】关于点、直线对称的圆的方程【分析】设圆心（a，2a），由弦长求出a的值，得到圆心的坐标，又已知半径，故可写出圆的标准方程【解答】解：设圆心（a，2a），由弦长公式求得弦心距d=，再由点到直线的距离公式得 d=|a|，a=2，圆心坐标为（2，4），或（2，4），又半径为，所求的圆的方程为：（x2）2+（y4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=1016在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AD中点，F为CC1中点（）求证
15、：ADD1F；（）求证：CE平面AD1F；（） 求平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）先证明ADCD，ADDD1，可得AD平面CDD1C1，从而可得ADD1F；（）连接A1D，交AD1于点M，连接ME，MF，则M为AD1中点，利用三角形中位线性质，可得线线平行，可得四边形CEMF是平行四边形，从而可得CEMF，利用线面平行的判定，可得CE平面AD1F；（）建立空间直角坐标系，确定平面ABCD的法向量为，平面AD1F的法向量=（2，1，1），利用向量的夹角公式，即可求得平面AD1F与底面ABC
16、D所成二面角的余弦值【解答】（）证明：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中四边形ABCD是正方形，ADCDDD1平面ABCD，AD平面ABCDADDD1DD1CD=D，AD平面CDD1C1D1F平面CDD1C1，ADD1F（）证明：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，交AD1于点M，连接ME，MF，则M为AD1中点E为AD中点，F为CC1中点又四边形CEMF是平行四边形，CEMFCE平面AD1F，MF平面AD1F，CE平面AD1F（）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，
17、0），D1（0，0，2），F（0，1，1）平面ABCD的法向量为设平面AD1F的法向量为=（x，y，z），则有取z=1，得=（2，1，1）平面AD1F与平面所成二面角为锐角平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值为17如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=（01）（1）求证：对任意的（0，1，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为60，求的值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，计算
18、向量的数量积，只要说明数量积与无关即可；（2）分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角CAED的大小为60建立两法向量的关系式，求出的值即可【解答】解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，a），（1）证明：=（a，a，0），=（a，a，a），=（a，0，a），=（0，a，a）=（a，a，0）（a，a，a）=a2a2+0a=0，即对任意的（0，1，都有ACBE（2）=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量设平面ACE的一个法向量为n=（x，y
19、，z），则nE，nE，即取z=1，得n=（，1）cos60=2|由（0，1，解得=18已知椭圆=1（ab0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点点P（2，1）为椭圆上一点，求PAB的面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为PAB的底，由点线距离公式求出PAB的高，然后用基本不等式求最值【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m24=0令=4m28m2+160，解得|m|2，由韦达定理得则由弦长公式得|AB|=又点P到直线l的距离，当且仅当m2=2，即时取得最大值PAB面积的最大值为22016年11月21日
