1、2015学年第二学期高三数学 理科试卷考生注意： 1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1. 已知集合，则_.2.复数是实数，则实数=_.3. 方程的解集为_.4.已知圆锥的轴与母线的夹角为，母线长为3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_.5.已知，且，则 . 6. 设等差数列的前项和为，若,则= .7.圆, 直线，若被圆所截得的弦的长度之比为，则的
2、值为_.8设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为_.9. 已知，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是 10.直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线的准线上的射影分别是，若，则的值是 11.在极坐标中，直线被圆截得的弦长为 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望= 13. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ； .14.如图，在中，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动
3、时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知数列中，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是( )A B C D16在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列各式正确的是 ( )A B C D 17已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) AB CD18. 已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的
4、直线的条数为，则下面结论正确的是 ( )A BC. D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分ABCEC1A1B1F 如图，在直三棱柱中，点分别在棱上，且（1）求四棱锥的体积；（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，某城市设立以城中心O为圆心、公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护
5、区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切直道BC已知通往一级公路道路AC每公里造价为万元，通往高速公路的道路AB每公里造价为万元，其中为常数，设，总造价为万元 （1）把表示成的函数，并求出定义域； （2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题6分，第(2)小题8分.已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程. 22.（本题
6、满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.（1） 已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）若是定义在的“局部奇函数”，求实数的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(2)小题满分8分.已知等比数列的首项，数列前项和记为，前项积记为.(1) 若，求等比数列的公比；(2) 在(1)的条件下，判断|与|的大小；并求为何值时，取得最大值；(3) 在(1)的
7、条件下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列.2015学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1 2-1 3 4 5 6. 7. 8 9. 10 11（理） （文） 12. （理）1.89 （文） 13 14（理） （文）二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 15. C 16. B 17. C 18. D三、解答题（本大题共5题，满分74分） 19（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分.解：（理）（1）6分（2）建立如图所示的直角坐标系
8、，则,，, 7分设平面的法向量为，则，所以 9分平面的法向量为，则所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为12分解：（文）（1） 6分（2）连接,由条件知,所以就是异面直线与所成的角8分在中，所以， 10分所以异面直线与所成的角为 12分20（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.解：（1）BC与圆O相切于A，OABC,在ABC中，2分 同理，可得4分 6分（2）由（1）得9分 12分 当且仅当时取等号，又，所以 即A点在O东偏南的方向上，总造价最低。14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解: (1) 设直线AB的方程为原
9、点到AB的距离为，又，解得4分故椭圆的方程为 6分（2）由（1）得椭圆的左焦点，易知直线的斜率不为0，可设直线，设，因为MOPN为平行四边形，得 8分联立10分12分因为点P在椭圆上，有所以直线的方程为14分22. （本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (本题满分16分).解：（1）由方程有解，得有解 4分（2），由可化为在区间上有解，设，则10分（3）若，由方程有解，可得在上有解，设则，有在上有解。12分设，当时，成立，得； 14分当时，要使在上有解，则须， 所以16分23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题
10、满分6分，第2小题满分8分.(理)解: (1)、，解得，4分 (2).又,当时,；当时,.当时,取得最大值, 6分又,的最大值是和中的较大者, 8分又，.因此当时,最大. 10分(3),随增大而减小,奇数项均正,偶数项均负,当是奇数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,则,因此成等差数列, 公差；14分当是偶数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,则,.,因此成等差数列,公差,综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且, ,数列为等比数列. 18分（文）解: (1) ，解得，4分(2) ,当时,等号成立；6分同理,8分当时,等号成立；.10分(3) .又,12分当时,；当时,.当时,取得最大值, 14分又,的最大值是和中的较大者, 16分又，.因此当时,最大. 18分
