1、北京市海淀区2005年高三年级第二学期期末练习数学（理科）一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1、设全集U1，3，5，7，集合，则a的值为（ ） A. 2或-8B. -8或-2C. -2或8D. 2或82、已知是第二象限角，则可化简为（ ） A. B. C. D. 3、命题p：不等式的解集为，命题q：在ABC中，“AB”是“sinAsinB”成立的必要非充分条件，则（ ）A. p真q假 B. “p且q”为真 C. “p或q”为假 D. p假q真4、已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5、设函数，则其反函数的图象是（ ）6、已知
2、，且，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7、在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面平面，则平面内任意一条直线m平面； 若平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，则直线n平面； 若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心。 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8、已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，则的值为（ ）A. B. C. 0D. 1二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9、计算_。10、函数的图象F按向量平移
3、到，则的函数解析式为_。11、已知函数，在处连续，则实数a的值为_。12、如图，在正方体中，中点为E，则AE与所在的两条直线的位置关系是_，它们所成的角的大小为_。13、已知数列中，则_（用数字作答），设数列的前n项和为，则_（用数字作答）。14、甲乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分。15、（本小题满分12分）在ABC中，角A，B
4、，C所对的边分别是a，b，c，且。 （I）求的值；（II）若，ABC的面积，求a。16、（本小题满分14分）已知向量（其中x，y是实数），又设向量，且，点的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程；（II）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线与曲线C交于另一点N，当时，求直线的方程。 17、（本小题满分14分）已知四棱锥PABCD（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点。MQPD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为。（I）求证：平面PMN平面PAD；（II）求PA的长；（III）求二面角PMNQ的余弦值。18、（本小题满分14分）如图，
5、在直线和之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往。家住的某学生在位于公路上处的学校就读。每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上处的学校。已知船速为，车速为（水流速度忽略不计）。（I）若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；（II）若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间。19、（本小题满分14分）已知数列，满足。当时，。若数列满足（1）求；（2）求证：当时，；（3）求证：仅存在两个正整数m，使得。20、（本小题满分12分）对某些正整数n，存在为集合1，2，
6、n的n个不同子集，满足下列条件：对任意不大于n的正整数i，j，且每个至少含有三个元素；的充要条件是（其中）。为了表示这些子集，作n行n列的数表，规定第i行第j列的数为。（I）求该数表中每列至少有多少个1；（II）用n表示该数表中1的个数，并证明；（III）请构造出集合1，2，7的7个不同子集，使得满足题设（写出一种答案即可）。北京市海淀区2005年高三年级第二学期期末练习数学试题答案一. 选择题（每小题5分，共40分） 1. D2. B3. A4. D5. A6. C7. B8. D二. 填空题：（9）（10） （11）3（12）异面直线， （13）256，377（14）三. 解答题。 （15
7、）本小题满分12分解：（I）2分 4分 6分 （II）7分 由得： 解得：9分 由余弦定理可得：11分 12分 （16）本小题满分14分 解：（I）由已知， 2分 4分 即所求曲线的方程是：6分 （II）由（I）求得点M（0，1），显然直线与x轴不垂直故可设直线的方程为7分 由消去y得：解得：（分别为点M，N的横坐标）10分 由， 解得：12分 所以直线的方程为或14分 （17）本小题满分14分 解法一： （I）PA底面ABCD，底面ABCD MNPA 又MNAD， MN平面PAD3分 平面PMN 平面PMN平面PAD4分 （II）BCBA，BCPA， BC平面PBA BPC为直线PC与平面P
8、BA所成的角，即7分 在中， 10分 （III）由（I），MN平面PAD，知PMMN，MQMN PMQ即为二面角PMNQ的平面角12分 而 14分（18）本小题满分14分 解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则3分 令，得5分 且当时，6分 当时，7分 所以当时，所用的时间最短，最短时间为： 9分 答：当时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是。 （II）由（I）的讨论可知，当时，为上的减函数，所以当时，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短。12分 最短时间为14分 答：当时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是。 （19
9、）本小题满分14分 （I）解：4分 （II）证明： 9分 （III）解：易算出11分 当时，这表明从第5项开始，构成一个以为首项，公差为的等差数列。 由，解出13分 因此，满足的正整数只有两个： 或14分 （20）本小题满分12分 解：（I）根据每至少含有三个元素得：作出的数表每列至少有3个1；2分 （II）中的表明数表的一条对角线上数字都是0，表明除这条对角线以外，和恰好一个为1，而另一个为0，即数表中除此对角线以外，0和1各占一半，故数表中共有个15分 考察数表中的1的总数：一方面1的总数为，另一方面因为数表每列至少有三个1，所以整个数表（共n列）至少有3n个1，因此可以列出不等式，解得9分（III）可以构造，12分 说明：其它正确解法按相应步骤给分。
