1、2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1若集合A=x|log（2x+1）1，集合B=x|13x9，则AB=（）A（0，）B（，）C（0，2）D（，2）2i是虚数单位，复数（1+3i）（ai）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（）A（3，+）B（，）C（3，）D（3，1）3若椭圆（ab0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A2BCD34设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）Aln21Bln22C2ln21D2ln225设aR，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件
2、C充要条件D既不充分也不必要条件6已知实数x1，10，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）ABCD7已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）AB7C6D8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A10cm3B20cm3C30cm3D40cm39等差数列的前n项和为Sn，且S1006S1008S1007，则满足SnSn10的正整数n为（）A2015B2013C2014D201610已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）
3、A36B16C12D11在ABC中，AB=3，AC=4，BAC=60，若P是ABC所在平面内一点，且AP=2，则的最大值为（）A10B12C10+2D812设过点P（1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，|=（）AB5C8D9二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1300编号，按编号顺序平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231，则第一组中用抽签方法确定的号码是14若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为15已知点A（0，3），若圆C：（xa）2+
4、（x2a+4）2=1上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若ABC的面积为S=c，则ab的最小值为三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知=（sin2x，2cos2x1），=（sin，cos）（0），函数f（x）=的图象经过点（，1）（）求及f（x）的最小正周期；（）当x时，求f（x）的最大值和最小值18某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；
5、（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率19如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC平面BCDE，ACBC，AC=CD=BC=2，F是AD的中点（1）求证：AB平面CEF；（2）求点A到平面CEF的距离20设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值21设函数f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x
6、（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CHAB于点H，CD是圆的切线，F是AC上一点，DF=DC，延长DF交AB于E（）求证：DECH；（）求证：AD2DF2=AEAB选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，过点P（2，）作倾斜角为的直线l与曲线C：（x1）2+（y2）2=1相交于不同的两点M，N（）写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程；（）求+取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函
7、数f（x）=|x2|+2|x+a|（a0）（1）当a=1时，解不等式f（x）8；（2）若不等式f（x）3在（，+）上恒成立，求实数a的取值范围2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1若集合A=x|log（2x+1）1，集合B=x|13x9，则AB=（）A（0，）B（，）C（0，2）D（，2）【考点】交集及其运算【分析】先把集合A，B解出来，然后再求AB即可【解答】解：A=x|log（2x+1）1=x|x，B=x|13x9=x|0x2，AB=x|0x，故选A2i是虚数单位，复数（1+3i）（ai）在复平面内对应的点在
8、第四象限，则a的范围（）A（3，+）B（，）C（3，）D（3，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】通过复数的运算得到关于a的不等式组，求出a的范围即可【解答】解：（1+3i）（ai）=（a+3）+（3a1）i，又在复平面内对应的点在第四象限，解得：3a，故选：C3若椭圆（ab0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A2BCD3【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合【分析】利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：椭圆（ab0）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，e=故选：C4设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）A
9、ln21Bln22C2ln21D2ln22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（m，n），代入曲线的方程，求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得m=2，求得n，代入切线的方程可得b【解答】解：设切点为（m，n），则n=lnm，y=lnx的导数为y=，可得切线的斜率为，由切线方程y=x+b，可得=，解得m=2，n=ln2，b=nm=ln21故选：A5设aR，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条
10、件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若a=1时，f（x）=ln（1+）=ln，由，解得x1或x1，函数f（x）的定义域为（，1）（1，+）关于原点对称；又f（x）+f（x）=ln+ln=ln（）=ln1=0，即f（x）=f（x），函数f（x）是奇函数即充分性成立若f（x）=ln（a+）为奇函数，则f（x）+f（x）=ln（a+）+ln（a+）=0，化为（a1）（a+1）（x21）+4=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，由上面可知a=1满足题意，即必要性成立故“a=1”是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的充要条件故选：C6已知实数x1，10，执行如图所示的程序框图，则输出x的值
11、不小于55的概率为（）ABCD【考点】程序框图【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于54得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率【解答】解：设实数x0，10，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=22（2x+1）+1+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+755，得x6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=故选：C7已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）AB7C6D【考点】等比
12、数列【分析】由数列an是等比数列，则有a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10【解答】解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选A8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A10cm3B20cm3C30cm3D40cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三
13、角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积V=345345=20（cm3）故选B9等差数列的前n项和为Sn，且S1006S1008S1007，则满足SnSn10的正整数n为（）A2015B2013C2014D2016【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知可得a10080，a1007+a10080，再由等差数列的性质和求和公式可得得S20150，S20160，可得结论【解答】解：由题意可得S1008S10070，即a10080，再由S1006S1008，得S1008S10060，即a1007+a10080，由等差数列的求和公式和性质可得S2015=2015a10080，同理可得S2014=$fr
14、ac2014（a_1+a_2014）2=1007（a1007+a1008）0，满足SnSn10的正整数n=2014，故选：C10已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A36B16C12D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】根与余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积【解答】解：由余弦定理得cosA=，解得AB=2，AB2+BC2=AC2，即ABBCAC为平面ABC所在球截面的直径作OD平面ABC，
15、则D为AC的中点，VOABC=，OD=OA=2S球O=4OA2=16故选：B11在ABC中，AB=3，AC=4，BAC=60，若P是ABC所在平面内一点，且AP=2，则的最大值为（）A10B12C10+2D8【考点】平面向量数量积的运算【分析】可以A为坐标原点，边AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A，B，C三点的坐标，并可设P（cos，sin），R这样便可求出向量的坐标，从而求出，根据两角和的正弦公式即可得到，而1sin（+）1，从而便可得出的最大值【解答】解：以点A为原点，边AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（），C（4，0），P（
16、2cos，2sin），R；，；=，其中为锐角，且，R；sin（+）=1时，取最大值故选C12设过点P（1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，|=（）AB5C8D9【考点】抛物线的简单性质【分析】求出切线AP、BP的方程，代入P点的坐标，结合韦达定理，向量的数量积公式，即可得出结论【解答】解：设切点A、B坐标分别为（y02，y0）和（y12，y1）（y1y0），2yy=4，两切线斜率分别为：和，于是：切线AP的方程为：2xyy0+y02=0代入P点的坐标为：y022y04=0同理y122y14=0由题意，y0+y1=2，y0y1=4，|=（
17、1y02，y0）（1y12，y1）=1（y02+y12）+y02y12+y0y1=5故选：B二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1300编号，按编号顺序平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231，则第一组中用抽签方法确定的号码是6【考点】系统抽样方法【分析】根据题意设出在第1组中随机抽到的号码为x，写出在第16组中应抽出的号码，根据第16组抽出的号码为231，构造关于x的方程，得到x的值【解答】解：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，由于300名学生平均分成20组，故每组15人则在第16组中应抽出的号码
18、为1515+x即225+x=231，x=6故答案为：614若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：415已知点A（0，3），若圆C：（xa）2+（x2a+4）2=1上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为0，【考点】圆的标准方程【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出M坐标，由|MA|=2|MO|求得M的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案【解
19、答】解：由C：（xa）2+（x2a+4）2=1，得圆心C（a，2a4），设M（x，y），|MA|=2|MO|，得x2+y2+2y3=0，即x2+（y+1）2=4点M在以D（0，1）为圆心，以2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足21CD2+1，即1，即，解得0故答案为：0，16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若ABC的面积为S=c，则ab的最小值为12【考点】正弦定理【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=c，求得c=ab再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的
20、最小值【解答】解：在ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab12，故答案为：12三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知=（sin2x，2cos2x1），=（sin，cos）（0），函数f（x）=的图象经过点（，1）（）求及f
21、（x）的最小正周期；（）当x时，求f（x）的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法【分析】（）利用向量数量积的坐标运算易求f（x）=cos（2x），从而可求f（x）的最小正周期；又y=f（x）的图象经过点（，1），0，可求得；（）由（）得f（x）=cos（2x），x2x，利用余弦函数的单调性可求得f（x）的最大值和最小值【解答】解：（）f（x）=sin2xsin+cos2xcos=cos（2x），f（x）的最小正周期为T=，y=f（x）的图象经过点（，1），cos（）=1，又0，=；（）由（）得f（x）=cos（2x），x，2x，当2x=0，即x=
22、时，f（x）取得最大值1；2x=，即x=时，f（x）取得最小值18某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的
23、方差（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案【解答】解：（1）甲班学生的平均分是85，x=5，乙班学生成绩的中位数是83，y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2=40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情
24、况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为19如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC平面BCDE，ACBC，AC=CD=BC=2，F是AD的中点（1）求证：AB平面CEF；（2）求点A到平面CEF的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行
25、的判定【分析】（1）连结BD，交CE于点H，连结FH，从而FH是ABD的中位线，从而证明AB平面CEF；（2）设A到平面CEF的距离为d，利用等积法进行转化解方程VACEF=dSCEF=|DE|SACF，即可得到结论【解答】解：（1）证明：如图，连结BD，交CE于点H，连结FH，四边形BCDE为矩形，H是线段BD的中点，又点F是线段AD的中点，FH是ABD的中位线，FHAB，又FH平面CEF，AB平面CEF；AB平面CEF；（2）设A到平面CEF的距离为d，则VACEF=dSCEF=|DE|SACF，CF=，CE=2，EF=3，CFEF，SCEF=3，则d=，即点A到平面CEF的距离是20设椭
26、圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用OAOB推断出x1x2+y1y2=0，求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据
27、求得AB的坐标值【解答】解：（I）由，由右焦点到直线的距离为，得：，解得所以椭圆C的方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）12=0，OAOB，x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，整理得7m2=12（k2+1）所以O到直线AB的距离为定值OAOB，OA2+OB2=AB22OAOB，当且仅当OA=OB时取“=”号由，即弦AB的长度的最小值是21设函数f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函数f（
28、x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）根据题意即可得出4x2ax+10在（0，+）上恒成立，从而有0或者，这样便可解出实数a的取值范围；（）可求g（x），根据导数符号便可得出g（x）在（0，e）上的值域，并设h（x）=f（x）+2x2=axlnx，m=g（x），从而可将问题转化为任意的m（3，4，存在唯一的，使得h（x0）=m，求导数，然后可讨论a的取值：，和，在每种情况里可通过求函数h（x）的最大值或最小值，以及端点值即可求出满足条
29、件的a的取值范围【解答】解：（），由题：f（x）0在（0，+）上恒成立；即4x2ax+10在（0，+）上恒成立；=a24410，得，4a4；或，故a4；综上，a4；（）g（x）=e1x（1x），g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减；且g（0）=3，g（1）=4，g（e）=e2e+33；g（x）的值域为（3，4；记h（x）=f（x）+2x2=axlnx，m=g（x）；原问题等价于m（3，4，存在唯一的，使得h（x0）=m成立；=，xe4，e；当时，h（x）0恒成立，h（x）单调递减；由，h（x）min=h（e）=ae13，解得；当ae4时，h（x）0恒成立，h（x）单调递增，不
30、合题意，舍去；当时，h（x）在上单调递减，在上单调递增；且h（e4）=ae4+44，h（e）=ae1；要满足条件，则ae13；综上所述，a的取值范围是请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CHAB于点H，CD是圆的切线，F是AC上一点，DF=DC，延长DF交AB于E（）求证：DECH；（）求证：AD2DF2=AEAB【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（）连结BC，证明ACHABC，ACH=DFC，可得DECH；（）设AD与半圆交于点M，连结BM，证明AEDAMB，可得AEAB=
31、DAAM，即可证明AD2DF2=AEAB【解答】证明：（）连结BC，CD是圆的切线，AC是弦，DCF=CBADF=DC，DCF=DFC，DFC=CBA，又CHAB，ACB=90，ACHABC，ACH=CBA，ACH=DFC，DECH；（）设AD与半圆交于点M，连结BM，CD是圆的切线，DC2=DADM，又DEAB，AMB=90，AEDAMB，AEAB=DAAM，DA2DF2=DA2DC2=DA2DADM=DA（DADM）=DAAM=AEAB选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，过点P（2，）作倾斜角为的直线l与曲线C：（x1）2+（y2）2=1相交于不同的两点M，N（）写出直线
32、l的参数方程与曲线C的极坐标方程；（）求+取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质；参数方程化成普通方程【分析】（1）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数）曲线C：（x1）2+（y2）2=1展开把y=sin，x=cos，2=x2+y2代入即可化为极坐标方程（2）把直线l的参数方程：（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2+（2cossin）t+=0，利用根与系数的关系代入+=，即可得出【解答】解：（1）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数）曲线C：（x1）2+（y2）2=1展开可得：x2+y22x4y+4=0，把y=sin，x=cos，2=x2+y2代入化为极坐标方程：22c
33、os4sin+4=0（2）把直线l的参数方程：（t为参数）代入曲线C的方程：x2+y22x4y+4=0，可得：t2+（2cossin）t+=0，由0，可得|2cossin|1故+=4|2cossin|选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|+2|x+a|（a0）（1）当a=1时，解不等式f（x）8；（2）若不等式f（x）3在（，+）上恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）按照x1，1x2，x2三种情况进行讨论，去掉绝对值符号可解不等式，注意三种情况要对x的范围取并集；（）f（x）3即|x2|+2|xa|3，求出f（x）的最小值是a+2，得到a+23，解出即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x2|+2|x+1|，当x1时，f（x）=2x2（x+1）=3x，由f（x）8，得3x8，解得x；1x2时，f（x）=2x+2（x+1）=x+4，由f（x）8，得x4，此时不等式无解；当x2时，f（x）=x2+2（x+1）=3x，由f（x）8，得3x8，解得x；综上，不等式f（x）3的解集为（，）（，+）（2）a0，a02，f（x）=|x2|+2|x+a|=，f（x）min=f（a）=a+2，f（x）3即a+23，解得：a12016年8月27日
