1、北京市八一学校2020-2021学年度第一学期十二月月考一选择题(本大题共10小题，共40分)1. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出所求双曲线的渐近线方程.【详解】将双曲线的方程化为标准方程得，则，所以，双曲线的渐近线方程为.故选：A.2. 已知直线与直线平行，则实数的取值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【详解】由平行的性质可得 ，故选A.考点：两直线的 平行3. 已知平面=l，m是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ）A. 若m，则mlB. 若ml，则mC. 若m，则ml
2、D. 若ml，则m【答案】D【解析】【分析】A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.4. 设是
3、不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】 由题意得，方程表示双曲线，则或， 所以“”是方程“表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.5. 离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，即得，再由椭圆的的关系和离心率公式，计算即可得到，进而得到椭圆方程.【详解】由得焦点坐标为，即，又，即椭圆方程为，故选：B.6. 已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】
4、D【解析】【详解】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为， 即，解得或，故选D7. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ ）A 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【详解】分析：设椭圆右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.8.
5、已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】求得椭圆的离心率，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角.【详解】设椭圆的离心率为，则，双曲线的离心率为，由题意可得，解得，故双曲线的渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，故选：C.【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.9. 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为( )A. B. C. D. 【答案】
6、D【解析】【详解】据题意知，PMF为等边三角形，PF=PM，PM抛物线的准线，设P（，m），则M（1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，等边三角形边长为4，其面积为4故答案选D10. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论【详解】在正方体中，一定有，点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线故选D【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系属于跨章节综合题，难度不
7、大二填空题(本大题共5小题，共20分)11. 抛物线的准线方程为_【答案】【解析】【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题12. 已知圆，则圆心坐标为_，若直线过点且与圆相切，则直线的方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标；圆心到直线的距离，可得直线方程.【详解】圆，可化为，圆心坐标为，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，直线的方程为，故答案为：；.【点睛】过一定点，求圆的切线时
8、，首先判断点与圆的位置关系若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.13. 设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则_.【答案】2【解析】【详解】 由抛物线的焦点为， 经过抛物线的焦点且垂直与的直线和抛物线交于两点，则,所以.14. 已知椭圆.四点，恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的对称性可知点，在椭圆上，代入椭圆的方程，解方程组即可求解.【详解】由椭圆的几何性质可得：点，在椭圆上，代入椭圆的方程可得解得：，所以椭圆的方程为：，故答案为：.15. 若点集，则（）点集所表示的区域的面积为_（）点集所表
9、示的区域的面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【详解】试题分析：（1），而，则表示的区域是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，面积为（2）A所表示的区域是以（0，0）为圆心，半径=1的圆，B所表示的区域是以（1，1）（1，-1）（-1，-1）（-1，1）为顶点的正方形，把x1，y1代入可得，M所表示区域是A的圆心在正方形B的边上移动，圆所覆盖的区域M的面积为12+考点：二元一次不等式组与平面区域的关系三解答题(本大题共4小题，共40分)16. 已知抛物线的焦点为.（1）求.（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）由题
10、可得，即可求出；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.【详解】（1），则由抛物线性质得，即的标准方程是.（2）由题意得，抛物线的焦点为，的方程为，.综上所述，线段的长度为16.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.17. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为正弦型函数，利用周期公式，求得的最小正
11、周期；（2）通过，求出的范围，求出的范围，即可得到函数在上的最大值.【详解】（1）函数，所以函数的最小正周期；（2）由（1）可知，因为，所以，所以，在区间的最大值为.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式18. 在四棱锥中，平面 平面，底面为梯形，且（）求证：；（）求二面角B-PD-C的余弦值；（）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.【答案】（）见解析；（）； （）见解析.【解析】【分析】（）利用平面和平面垂直得到线面垂直；（）利用空间向量求解法向量
12、，从而计算出二面角；（）利用反证法或者向量求解.【详解】（）在平面中过点作，交于因为平面平面平面平面平面所以平面因为平面所以又，且所以平面（）因为平面，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系所以，因为平面，所以取平面的法向量为设平面的法向量为因为，所以所以令 ，则 ，所以所以由题知为锐角，所以的余弦值为（）法一：假设棱上存在点，使得，显然与点不同所以四点共面于所以 ， 所以 ， 所以就是点确定的平面，所以 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱上存在点，使得连接，取其中点在中，因为分别为的中点，所以因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合所以点在线
13、段上，所以是，的交点，即就是而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱上存在点，使得，设，所以因为，所以所以有，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证【点睛】本题主要考查空间位置的证明和二面角的求解.线面垂直可以通过线线垂直或者面面垂直来实现；二面角一般利用平面的法向量解决.19. 已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆M的方程；（2）是否存在棱形ABCD，同时满足下列三个条件：点A在直线上；点B，C，D在椭圆M上；直线BD的斜率等于1.如果存在，求出A点坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在满足题意的菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出
14、椭圆的几何量，即可求解椭圆的（2）不存在满足题意的菱形，利用反证法，假设存在满足题意的菱形，设直线的方程为，设线段的中点，点，直线与椭圆联立方程组，利用判别式求出的范围，通过韦达定理结合已知条件推出矛盾，得到结论.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）不存在满足题意的菱形，理由如下.假设存在满足题意的菱形.设直线方程为，线段的中点，点，由得，由，解得：，因为，所以，因为四边形为菱形，所以是的中点，所以点的纵坐标，因为点在椭圆上，所以，与矛盾，所以不存在满足题意的菱形.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形
