1、北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题，则是A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】为：，.选C.2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设有，因为，所以，所以，故，选D.3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”
2、是为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D考点：1充要条件；2含有逻辑联结词的命题的真假性4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，所以，而到直线的距离为，所以.选D.5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则m/n【答案】B【解析】在如图所示的正方体中， 平面 ， 平面，平面平面，异面，A错；在正方体中，平面平面，平面，平面，但是，C错；平面平面，平面， 平面 ，但是相交.排除A，C，D.选B.6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
3、则该椭圆的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为A. （2，1） B. （1，1） C. （，1） D. 【答案】C【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常
4、转化为与准线有关的最值问题.9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁 D. 乙，丙【答案】B【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“班没有获奖，班获奖了”中奖情况有两种：班和班获奖或者班和班获
5、奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是A. 线段 B. 圆弧C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为 平面 ， 平面，故.又因 ，故平面，而平面， 所以. 因为 ，故 平面 ，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作
6、，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是_。【答案】【解析】因为两条直线垂直，故，所以.12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围_。【答案】(1，5)【解析】因为焦点在椭圆上，故，解得即.13. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为_，其焦点到渐近线的距离为_。【答案】 (1). (2). 1【解析】（1），所以，故离心率为，渐近线方程为，所以焦点到它们的距离为. 14. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_。【答案】（4，2）【解析】设，由得到也就是，所
7、以 ，故，因此中点坐标为.点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.15. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_。【答案】0，1【解析】如图，曲线表示如图所示的半圆，表示过定点的动直线，当动直线在之间时，它与半圆总有公共点，又，故，也即是.点睛：注意表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间.16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C
8、的“伴随曲线”，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）【答案】【解析】试题分析：对于，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，令单位圆上点的坐标为，则其伴随点为，仍在单位圆上，故正确；对于，设曲线关于轴对称，则与曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线与关于轴对称，所以正确；对于，取直线上一点P（x，y），则其伴随点为 ，消参后轨迹是圆，故错误.所以真命题为.【考点
9、】对新定义的理解、函数的对称性【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点A(-2,m)(m0)，圆（I）写出圆C的标准方程；（II）若过点A的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；（III）若过点A且在两坐标轴上截距（截距
10、不为零）相等的直线被圆截得的弦长为，求m的值。【答案】(1) ;(2) ;(3)5.【解析】试题分析：（1）配方可以得到圆的标准方程.（2）因为过的圆的切线只有一条，故在圆上，从而求得的坐标并求得的斜率，最后求出切线方程.（3）因为截距相等且不为零，故其斜率必为，故可设直线方程为，再利用垂径定理求出圆心到该直线的距离，构建关于的方程即可得到的解.（1）圆的标准方程为：.（2）由于过点 的圆的切线只有一条，则点在圆上，故 ，所以又，所以切线的斜率为 ，切线方程为 ，整理得到.（3）因为过的直线在两坐标轴上截距相等且不为零，所以直线的斜率为，设直线方程为 ，也就是，又圆心到该直线的距离为，所以，解
11、得（舎）或.18. 已知椭圆W：，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点。（I）求椭圆的离心率和短轴长；（II）若直线l的斜率是2，求线段AB的长。【答案】（1）；（II）【解析】试题分析：（1）把椭圆方程化成标准形可得到椭圆的基本量，离心率即为.（2）利用弦长公式求解，其中为直线的斜率，.解析：（I）椭圆的标准方程为：，所以，所以离心率为，短轴长为.（II）直线，联立有，整理得，所以. 19. 如图，已知直三棱柱中，AB=BC，E为AC中点。（I）求证：平面；（II）求证：平面平面。【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（I）连接交与，则为的中位线，也就是
12、，由这个结论可以证明平面.（II）要证平面平面，可证平面.它可以通过以及得到.解析：（I）证明：连结，与交于点，连结，因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形，点是中点，又为中点，所以因为平面，平面，所以平面. （II）证明：因为，为中点，所以.又因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，从而.所以平面。因为平面，所以平面平面20. 已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上。（I）求抛物线C的方程；（II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程。【答案】（I）；（II）当直线l的方程为，或【解析】试题分析：（I）根据焦点坐标得到的值，从而得到抛物线的方程. （II）
13、因为只有一个公共点，故联立后的方程只有一个实数根，可根据二次项的系数去讨论.解析：（I）直线与的交点为，它是抛物线的焦点，故，所以. 若，则直线，它与抛物线有一个公共点；若，则，整理得到，或，所以直线或 .21. 已知：椭圆C两焦点坐标分别为，且经过点N。（I）求椭圆C的标准方程；（II）若过M（0，-4）的直线l交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（I）根据得到的大小，结合 可以得到椭圆的标准方程，注意焦点在轴上. （II）因为为等边三角形，所以可以看出的中垂线与轴的交点，设的中点为
14、，那么，联立直线方程和椭圆方程后可以将该等式转化为关于斜率的方程，从而直线 及其中垂线的方程并求得的坐标.解析：（I）设椭圆的标准方程为，则，所以，所以椭圆的方程为.（II）直线的斜率必定存在，设直线，.由可以得到，整理得到，因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得或 .又，的中点为 ， ，解得，又中垂线的方程为，所以， .点睛：在圆锥曲线问题中，我们要注意寻找问题的几何特征，通过这些特征构建未知变量的方程或方程组去求解，在构建方程或方程组时需要利用韦达定理.22. 已知集合，其中，将（）中所有不同值的个数记为L（A）。（I）设集合，求L（P），L（Q）；（II）设集合，求L（B）的值（用含
15、n的式子表示）；（III）求L（A）的最小值（用含n的式子表示）【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为.【解析】试题分析：（I）根据定义可求出，.（II）集合中的构成等比数列，可以证明它们任意两者的和都是相异的，从而求得的值. （III）为了讨论问题方便，可以假设，从而诸中任意两个数的和中至少有个不相同的和，特别当为等差数列时，也就是的最小值为.解析：(I)由，得 .由，得.（II）因为共有项，所以.又集合，任取，当时，不妨设，则，即。当，时，因此，当且仅当，时，.即所有的值两两不同，所以.（III）不妨设，可得，故中至少有个不同的数，即.事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，当时，；当时，；因此每个或等于中的一个，或等于中的一个。故对这样的，所以的最小值为.点睛：一般地，新定义问题可以根据题设给出的定义展开讨论.而对组合问题的最小值，我们可以先求出目标的一个范围，再通过特例验证等号成立，也就求出了目标的最小值.
