1、第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第四节 随机事件的概率最新考纲考情索引核心素养1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式.2016全国卷，T182015北京卷，T172015陕西卷，T191.数学建模2.数学运算3.数据分析1事件的相关概念2概率和频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率nAn(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P
2、(A)，因此可以用_来估计概率P(A)频率fn(A)3事件的关系与运算项目定 义符号表示包含关系如果事件A_，则事件B_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_(或_)发生一定发生BAAB相等关系若BA，且_，那么称事件A与事件B相等_并事件(和事件)若某事件发生_，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_(或AB)交事件(积事件)若某事件发生_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_(或_)ABAB 当且仅当事件A发生 或事件B发生AB 当且仅当事件A发生 且事件B发生ABAB互斥事件若AB为_事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为_事件，AB为必然
3、事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB 且AB不可能不可能4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_(2)必然事件的概率P(E)_(3)不可能事件的概率P(F)_0P(A)110(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_P(A)P(B)1P(B)1频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数2对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值(
4、)(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A必修3P121T5改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶(2)(人A必修3P82B组T1改编)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5)，2；15.5，19.5)，4；19.5，23.5)，9；23.5，27.5)，18；27.5，31.5)，11；31.5，35.5)，12；35.
5、5，39.5)，7；39.5，43.5，3.根据样本的频率分布估计，数据落在27.5，43.5内的概率约是_解析：(1)事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥(2)由条件可知，落在27.5，43.5内的数据有11127333(个)，故所求概率约是336612.答案：(1)D(2)123典题体验(1)(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13(2)(2019东北三省四市模拟)将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 15
6、16，则n的最小值为()A4 B5 C6 D7(3)(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：(1)事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为121356.(2)由已知得112n1516，解得n4，故选A.(3)由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.故选B.答案：(1)A(2)A(3)B考点1 随机事件间的关系(自主演练)1袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为()A恰
7、有1个白球和全是白球；B至少有1个白球和全是黑球；C至少有1个白球和至少有2个白球；D至少有1个白球和至少有1个黑球解析：由题意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B为互斥事件，但B又是对立事件，满足题意只有A，故选A.答案：A2在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是 310，那么概率是 710的事件是()A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A3从1，2，3，7这7个数中任取两个数，其中
8、：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()AB C D解析：中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件答案：C判断互斥、对立事件的两种方法1定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事
9、件2集合法(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考点2 随机事件的频率与概率(讲练互动)典例体验(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气
10、温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为 21636900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量
11、为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值为900，300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为362574900.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定
12、义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率变式训练(2018北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类 第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电
13、影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，获得好评的第四类电影的部数是2000.2550.故所求概率为 502 0000.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372.故所求概率估计为1 3722 0000.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率考点3 互斥事件
14、与对立事件的概率(讲练互动)典例体验经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)一题多解至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一 记“至
15、少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.复杂事件的概率的两种求法1直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算2间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便变式训练某商场有奖销售中，购满100 元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖
16、、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券中奖的概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.因为A、B、C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)110501 000 611 000，故1张奖券的中奖的概率为 611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)111 000 1100 9891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.
