1、绝密启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设为虚数单位，则复数A. B. C. D. 1. D. .2. 设集合，则A. B. C. D. 2. A. .3. 若向量，则A. B. C. D. 3. A. .4. 下列函数为偶函数的是A. B. C. D. 4. D. 选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数. 5. 已知变量，满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D. 5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，可化为直线
2、，则当该直线过点时，取得最小值，.6. 在中，若，则A. B. C. D. 6. B. 根据正弦定理，则.图1正视图俯视图侧视图556355637. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. B. C. D. 7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积.8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于A. B. C. D . 8. B. 圆心到直线的距离，则，即.输入开始输出结束是否图29. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为A. 105 B. 16 C. 15 D. 19. C. 10. 对任意两个非零的平面向量和，定义. 若两个非零的平面向量，
3、满足与的夹角，且和都在集合中，则A. B. C. 1 D. 10. D. ，同理有和都在集合中，即和是整数，取，则和是整数，则，则.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（11 13题）11. 函数的定义域为 .11. . ，即函数的定义域为.12. 若等比数列满足，则 .12. . ，则13. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为 .（从小到大排列）13. . 不妨设，依题意得，即，所以则只能，则这组数据为（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参
4、数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和的交点坐标为 .14. . 曲线的方程为（），曲线的方程为图3 或（舍去），则曲线和的交点坐标为.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线与圆相切于点，是弦上的点，. 若，则 .15. . 由弦切角定理得，则，则，即.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数，且（1）求的值；（2）设，求的值.16. 解：（1），解得（2），即，即 因为，所以， 所以图405060 70 80 90 100 成绩17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所
5、示，其中成绩分组区间是：，. （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段17. 解：（1）依题意得，解得（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（分）（3）数学成绩在的人数为：数学成绩在的人数为：数学成绩在的人数为：数学成绩在的人数为： 所以数学成绩在之外的人数为：18.（本小题满分13分）图5如图5所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是上的点且，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.18. 解
6、：（1）证明：因为平面，所以因为为中边上的高所以 因为 所以平面（2）连结，取中点，连结 因为是的中点， 所以 因为平面所以平面则 （3）证明：取中点，连结， 因为是的中点所以因为所以所以四边形是平行四边形所以因为 所以因为平面， 所以 因为所以平面所以平面19. （本小题满分14分）设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.19. 解：（1）当时，因为，所以，求得（2）当时， 所以 所以 得 所以，即 求得，则所以是以3为首项，2为公比的等比数列 所以 所以，20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方
7、程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.20. 解：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，消去并整理得因为直线与椭圆相切，所以整理得 ，消去并整理得因为直线与抛物线相切，所以整理得 综合，解得或所以直线的方程为或21.（本小题满分14分）设，集合，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.21. 解：（1）令 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为因为，所以 当时，则恒成立，所以综上所述，当时，；当时，（2）， 令，得或 当时，由（1）知因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小值点 当时，由（1）知所以随的变化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点
