1、高考资源网（） 您身边的高考专家2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义命题方向1 计算向量的数量积1、已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积解析(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos900.(3)当a与b夹角为60时，ab|a|b|cos604510.2、已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角为150，求ab，(ab)2，|ab|.解析ab|a|b|cos1506.(ab)2|a|22ab|b|2
2、2512.|ab|，即|ab|.命题方向2 求一个向量在另一个向量方向上的投影1、已知|a|4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上的投影是_；e在a方向上的投影是_答案22、已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为()A3B.C2D.解析ab|a|b|cos|b|a|cos3.命题方向3 待定系数法求抛物线的标准方程1、已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角解析根据|a|b|，有|a|2|b|2，又由|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos.又
3、0180，30.2、 设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角 解析由|m|1，|n|1，其夹角为60，得mn.|a|2mn|.|b|.所以ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2，设a、b的夹角为，得cos.所以a、b的夹角为120.命题方向4 求向量的模1、已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|的值解析因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos55cos，所以|ab|5，|ab|5.2、已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120.求：(1)向量b的模；(2)向量b的模 解析(1)a24，|a|24，即|
4、a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，ab3.则ab|a|b|cosa，b2|b|cos1203，|b|3.(2)由(1)知|b|3，|b|b|3|. 命题方向5 判断平面图形的形状1、在ABC中，c，a，b，且abbcca，试判断ABC的形状解析在ABC中，易知0，即abc0，因此acb，abc，从而两式相减可得b22abc22acc2b2，则2b22(abac)2c2，因为abcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|，即ABC是等边三角形 2、已知ABC中，a，b，若ab0，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D任意三角形答案A解析由ab0易知a，b为钝角.命题方向6 用数量积证明几何问题1、求证：ABC的三条高交于同一点证明如图所示，已知AD、BE、CF是ABC的三条高设BE、CF交于点H，且令b，c，h，可得hb，hc，cb.，(hb)c0，(hc)b0.(hb)c(hc)b.化简得h(cb)0.AH与AD在同一直线上AD、BE、CF相交于同一点H.2、在等腰直角三角形ABC中，C是直角，ACBC，D是BC的中点，E是AB上一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明()()22|2|2|20，即ADCE.- 6 - 版权所有高考资源网
