1、高考资源网() 您身边的高考专家2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义命题方向1 计算向量的数量积1、已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为60时,分别求a与b的数量积解析(1)ab,若a与b同向,则0,ab|a|b|cos04520;若a与b反向,则180,ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时,90,ab|a|b|cos900.(3)当a与b夹角为60时,ab|a|b|cos604510.2、已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为150,求ab,(ab)2,|ab|.解析ab|a|b|cos1506.(ab)2|a|22ab|b|2
2、2512.|ab|,即|ab|.命题方向2 求一个向量在另一个向量方向上的投影1、已知|a|4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e方向上的投影是_;e在a方向上的投影是_答案22、已知|b|3,a在b方向上的投影是,则ab为()A3B.C2D.解析ab|a|b|cos|b|a|cos3.命题方向3 待定系数法求抛物线的标准方程1、已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|b|ab|,求a与ab的夹角解析根据|a|b|,有|a|2|b|2,又由|b|ab|,得|b|2|a|22ab|b|2,ab|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2,|ab|a|.设a与ab的夹角为,则cos.又
3、0180,30.2、 设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a2mn与b2n3m的夹角 解析由|m|1,|n|1,其夹角为60,得mn.|a|2mn|.|b|.所以ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2,设a、b的夹角为,得cos.所以a、b的夹角为120.命题方向4 求向量的模1、已知|a|b|5,向量a与b的夹角为,求|ab|,|ab|的值解析因为a2|a|225,b2|b|225,ab|a|b|cos55cos,所以|ab|5,|ab|5.2、已知x1是方程x2|a|xab0的根,且a24,a,b120.求:(1)向量b的模;(2)向量b的模 解析(1)a24,|a|24,即|
4、a|2.把x1代入方程x2|a|xab0,得1|a|ab0,ab3.则ab|a|b|cosa,b2|b|cos1203,|b|3.(2)由(1)知|b|3,|b|b|3|. 命题方向5 判断平面图形的形状1、在ABC中,c,a,b,且abbcca,试判断ABC的形状解析在ABC中,易知0,即abc0,因此acb,abc,从而两式相减可得b22abc22acc2b2,则2b22(abac)2c2,因为abcaac,所以2b22c2,即|b|c|.同理可得|a|b|,故|,即ABC是等边三角形 2、已知ABC中,a,b,若ab0,则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D任意三角形答案A解析由ab0易知a,b为钝角.命题方向6 用数量积证明几何问题1、求证:ABC的三条高交于同一点证明如图所示,已知AD、BE、CF是ABC的三条高设BE、CF交于点H,且令b,c,h,可得hb,hc,cb.,(hb)c0,(hc)b0.(hb)c(hc)b.化简得h(cb)0.AH与AD在同一直线上AD、BE、CF相交于同一点H.2、在等腰直角三角形ABC中,C是直角,ACBC,D是BC的中点,E是AB上一点,且AE2EB.求证:ADCE.证明()()22|2|2|20,即ADCE.- 6 - 版权所有高考资源网