1、数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效数形结合的重点是研究“以形助数”，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅
2、形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问
3、题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应（2）双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错（3）简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构
4、建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从
5、几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用5数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数
6、形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【热点分类突破】类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1. 【江西省南昌二中20152016学年度高三上学期第三次考试数学】是定义在上的奇函数，且当时，则函数的零点的个数是（ ）A B C D分析：首先由已知得函数的图像，根据在上的解析式与奇偶性画出的图像，利用图像解决问题【答案】C点评：在解决函数零点个数问题时，一般将原函数转化为，其中为基本初等函数，然后在同一坐标系中作出函数的图象，观察函数的图象交点的个数，进而确定函数的零点的个数.【规律总结】用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等
7、复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数利用数形结合求方程解（或函数的零点）应注意两点：（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解（2）正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合【举一反三】【安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学】已知定义在R上的函数满足：
8、记函数g(x)= f(x) -log4(x+l)，则函数g(x)在区间内零点个数是（ ） A12 B11 C10 D9【答案】C【解析】如图: 函数的零点的个数就是函数与函数交点的个数.类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2. 【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，其中为常数若函数有10个零点，则的取值范围是 分析：首先由已知得函数的图像，根据在上的解析式画出的图像，利用图像解决问题【答案】点评：本题考查函数的奇偶性、函数和方程的零点，属于难题；很多同学看到10个零点就觉得无从下笔，碰到不熟悉的题目一定不要急，从已知条件一步一步分析；
9、由时，令，得函数的零点为或；函数有10个零点，等价于函数的图象与直线和共有10个交点，画出函数的图象，数形结合思想是解决此题的关键【规律总结】求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答利用数形结合解不等式应注意的问题：解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决【举一反三】1【陕西省镇安中学2016届高三月考】设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2
10、,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A.B. C.D.【答案】D类型三利用数形结合思想求最值“形”可以使某些抽象问题具体化，而数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果例3【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考】设满足约束条，若目标函数的最大值是12，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 分析：首先由已知画出可行域，根据可行域的意义来求出最小值【答案】D【解析】满足约束条件的区域如图所示，【规律总结】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征
11、，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；要正确确定参数的取值范围利用数形结合求最值的方法步骤：第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义；第二步：转化为几何问题把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如ykxb中表示直线的斜率，表示直线在轴上的截距；看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点和的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点（动点在一个区域内）的形式；或：看作是两点和间的距离或距离的平方；导数表示曲线在点处切线的斜率其他具有几何
12、意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形第三步：解决几何问题；第四步：回归代数问题；第五步：回顾反思应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：（1）比值可考虑直线的斜率；（2）二元一次式可考虑直线的截距；（3）根式分式可考虑点到直线的距离；（4）根式可考虑两点间的距离【举一反三】1对于每一个实数 ,取，三个值中最小的值，则的最大值为_【答案】3类型四运用数形结合思想解决解析几何中的问题例4. 【湖南师范大
13、学附属中学2016届高三上学期月考（三）】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）若过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于、两点，求三角形（为坐标原点）的面积的最大值分析：（1）设，代入抛物线方程，得，根据焦点弦公式得，抛物线的方程为在椭圆中，所以椭圆的标准方程为； （2）由题意可知，设直线的方程为，、，直线方程与椭圆方程联立得，根据韦达定理得、的表达式，代入面积公式中，根据基本不等式和函数的单调性得，因此的最大值为（2）由题意可知，设直线的方程为，且、，由得，令，则，又在上单调递增，的最大值为 点评：本
14、题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值.【规律总结】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化【举
15、一反三】【黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试】抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值总的来说“数形结合”思想是解决许多数学问题的重要思想方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度5数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等6是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的
