1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考情展望1.直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据一、四种命题及其关系1四种命题间的相互关系：2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系二、充分条件与必要条件1如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件2如果pq，那么p与q互为充要条件3如果pD/q，且qD/p，则p是q的既不充分又不必要条件充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则
2、q是p的必要条件，即“pq”“qp”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp”1已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论进行否定否命题是：若abc3，则a2b2c23.【答案】A2命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A
3、若，则tan 1B若，则tan 1C若tan 1，则 D若tan 1，则【解析】由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan 1，则.【答案】C3命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.【答案】B4下列命题正确的有_“ab”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”的充要条件；“ab”是“acbc”的充要条件；“ab”是“ac2bc2”的充要条件【解析】由于|a|b|a2b2，abacbc，故正确由于
4、abD/a2b2，且a2b2D/ab，故错；当c20时，abD/ac2bc2，故错【答案】5(2013安徽高考)“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当x0时，显然(2x1)x0；当(2x1)x0时，x0或x，所以“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件【答案】B6(2013湖南高考)“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】设Ax|1x2，Bx|x2，AB，即当x0A时，有x0B，反之不一定成立因此“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件【答案】
5、A考向一 004四种命题的关系及真假判断(1)命题“若x、y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数(2)以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价【思路点拨】(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“都是”的
6、否定是“不都是”(2)借助命题真假的判断方式逐一辨析即可【尝试解答】(1)“xy是偶数”的否定为“xy不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”因此其逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”故选C.(2)由log2a0可知a1，故函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数，故错误正确的逆命题为“相似的多边形是正多边形”是假命题，故错误正确原命题与其逆否命题是等价命题【答案】(1)C(2)规律方法11.(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前
7、提不变2判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化考向二 005充分条件与必要条件的判定(1)(2013北京高考)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2013山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)根据曲线ysin(2x)过原点时sin 0以及举反例法求解(2)借助原命题与逆否命题的等价判断【尝试解答】(1)当时，ysin
8、(2x)sin(2x)sin 2x，此时曲线ysin(2x)必过原点，但曲线ysin(2x)过原点时，可以取其他值，如0.因此“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件(2)若綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pD/q，其逆否命题为p綈q但綈qD/p，p是綈q的充分不必要条件【答案】(1)A(2)A规律方法2充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若AB，则
9、A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件考向三 006充分条件与必要条件的应用(2014保定模拟)设命题p：2x23x10；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_【思路点拨】思路一：求綈p及綈q，由綈q綈p，但綈pD/綈q建立实数a的不等关系，解不等式便可思路二：由先解不等式把命题p、q具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解【尝试解答】方法一：由2x23x10得x1，即命题p：x1，所以命题綈p：x或x1.由x2(2a1)xa(a1)0得axa1，即命题q：axa1.所以命题
10、綈q：xa或xa1因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以綈q綈p，但綈pD/綈q.如图所示：故，即0a.方法二：由2x23x10得x1，由x2(2a1)xa(a1)0得axa1，由綈p是綈q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，即x|axa1，0a.【答案】规律方法31.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低.2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.3.注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必
11、要、充要)条件.对点训练已知命题p：命题q：1mx1m，m0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为_【解析】命题p：2x10，由q是p的必要不充分条件知，x|2x10x|1mx1m，m0，或，m9，即m的取值范围是9，)【答案】9，)易错易误之一“条件”与“结论”颠倒黑白酿失误1个示范例1个防错练(2014济南模拟)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1Bab1Ca2b2 Da3b3【解析】要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab推不出选项此处在求解中，常误认为“由ab推出选项，而由选项推不出ab”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，
12、哪个是结论”在选项A中，ab1能使ab成立，而ab时ab1不一定成立，故A正确；在选项B中ab1时ab不一定成立，故B错误；在选项C中，a2b2时ab也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3b3是ab成立的充要条件，故D也错误【防范措施】充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的条件”，其中A是条件；“A成立的条件是B”，其中B是条件.设集合Ax|x2x60，Bx|mx10，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是_【解析】A3,2，当B时，BA，此时m0，当B时，B，则3或2，m或m.故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m0(答案不唯一)【答案】m0(答案不唯一)
