1、2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1在复平面内，复数z1i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知向量（1，3），且，则向量可以是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（1，3）3在平行四边形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，则（）ABCD4已知正三棱锥PABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：PO底面ABC；棱长都相等；侧面是全等的等腰三角形其中所有正确结论的序号是（）ABCD5已知，则cos2x（）ABCD6已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若a，b
2、，则abB若a，a，则C若a，b，则abD若a，b，则7如图，该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切若球O的体积为，则圆柱O1O2的表面积为（）A4B5C6D78在ABC中，点D在线段BC上，且BD3DC，若，则（）ABC2D39在ABC中，若b2acosC，且，则A（）ABCD10从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为正弦型曲线）：体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）它们在一个周期内的表现如表所示：高潮期低潮期体力体力充沛疲倦乏力情绪心情愉快心情烦躁智力思维敏捷反应迟钝如果从同学
3、甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（）A体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B体力充沛，心情愉快，思维敏捷C疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知（2，3），（4，x）且，则x 12为调研某校学生的课外阅读情况，通过随机抽样调查，获得100名学生每天的课外阅读时间，所得数据均在区间50，100（单位：min）上，其频率分布表如下：分组频率50，600.05（60，700.35（70，80a（80，900.2（90，1000.1则a ；根据以上数据，估计该校学生每天课外阅读时间的80%分位数为 13若复数，其中i为虚数单位，则
4、|z| 14将函数f（x）cos2x的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象若函数g（x）的图象关于原点对称，则的一个取值为 15如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，且D1OOP给出下列结论：ACD1O；三棱锥PAA1D的体积为定值；点P在线段CE上（E为BB1的中点）；D1C1P面积的最大值为2其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知向量（1，3），（1，2）（）求；（）求与夹角的大小；（）求|2|17BMI（身体质量指数）是目前国际上常用
5、的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI24为正常；24BMI28为偏胖；BMI28为肥胖某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高体重数据，计算得到他们的BMI，进而得到频率分布直方图如下：（）该公司男员工和女员工各有多少人？（）根据BMI及频率分布直方图，估计该公司男员工为肥胖的有多少人？（）根据频率分布直方图，估计该公司男员工BMI的平均数为1，女员工BMI的平均数为2，比较1与2的大小
6、（直接写出结论，不要求证明）18如图，在ABC中，D是BC边上一点，cosC，CD7，AC5（1）求AD的长；（2）若AB8，求角B的大小19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，BCAC（）求证：B1C1平面A1BC；（）求证：平面A1BC平面ACC1A1（）若A1B2BC，求异面直线A1B与B1C1所成角的大小20已知函数的最小正周期为（）求的值；（）再从条件、条件、条件中选择一个作为已知条件，求函数g（x）f（x）+2cos2x在区间上的最小值条件：f（x）的图象过点；条件：f（x）的图象关于直线对称；条件：f（x）在区间上单调递增21如图，在四棱锥PABCD中
7、，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（）若平面ADE交PC于点G，求证：EGAD；（）求证：AE平面PBC；（）判断直线AF与平面PBC所成角的大小是否可以为，并说明理由参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1在复平面内，复数z1i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数z1i对应的点为（1，1），复数z1i对应的点位于第四象限，故选：D2已知向量（1，3），且，则向量可以是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（1，3）解：根据题意，依次分析选项：对于A，（3，1），有3+30，则有，符合题
8、意；对于B，（3，1），有336，则不成立，不符合题意；对于C，（3，1），有3+36，则不成立，不符合题意；对于D，（1，3），有336，则不成立，不符合题意；故选：A3在平行四边形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，则（）ABCD解：四边形ABCD为平行四边形，故选：C4已知正三棱锥PABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：PO底面ABC；棱长都相等；侧面是全等的等腰三角形其中所有正确结论的序号是（）ABCD解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，所以PO底面ABC，故选项正确；由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心，但是侧棱长和底面边
9、长的大小关系不确定，故选项错误；由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故选项正确故选：B5已知，则cos2x（）ABCD解：因为，所以cos2x12sin2x12（）2故选：B6已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若a，b，则abB若a，a，则C若a，b，则abD若a，b，则解：若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故A错误；若a，a，则或与相交，故B错误；若a，b，由直线与平面垂直的性质可得ab，故C正确；若a，b，因为a与b的位置关系不确定，所以与的位置关系不确定，故D错误故选：C7如图，该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均
10、相切若球O的体积为，则圆柱O1O2的表面积为（）A4B5C6D7解：设球的半径为R，则，解得R1；所以圆柱的底面半径为1，高为2，表面积为212+2126故选：C8在ABC中，点D在线段BC上，且BD3DC，若，则（）ABC2D3解：因为BD3DC，所以，所以3（），故，若，则m，n，所以3故选：D9在ABC中，若b2acosC，且，则A（）ABCD解：在ABC中，若b2acosC，利用正弦定理：sinB2sinAcosC，整理得：sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，化简得：sin（AC）0，故AC或A+C（舍去），由于，所以AC故选：B10从出生之日起，人的
11、体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为正弦型曲线）：体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）它们在一个周期内的表现如表所示：高潮期低潮期体力体力充沛疲倦乏力情绪心情愉快心情烦躁智力思维敏捷反应迟钝如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（）A体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B体力充沛，心情愉快，思维敏捷C疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝解：根据题意，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，由图分析可得：体力的周期为23天，情绪的周期为28天，智力的周期为33天；从同学甲出生到今日
12、的天数为5850，对于体力，有585023254+8，处于高潮期，体力充沛，对于情绪，有585028208+26，处于低潮期，心情烦躁，对于智力，有585033177+9，处于高潮期，思维敏捷，故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷；故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知（2，3），（4，x）且，则x6解：已知（2，3），（4，x）且，则由两个向量共线的性质可得2x340，解得x6，故答案为 612为调研某校学生的课外阅读情况，通过随机抽样调查，获得100名学生每天的课外阅读时间，所得数据均在区间50，100（单位：min）上，其频率分布表如下：分组频率50，600.05（
13、60，700.35（70，80a（80，900.2（90，1000.1则a0.3；根据以上数据，估计该校学生每天课外阅读时间的80%分位数为 85解：由题意可知，0.05+0.35+a+0.2+0.11，解得a0.3；10080%0.8，又0.05+0.35+0.30.7，0.05+0.35+0.3+0.20.9，故该校学生每天课外阅读时间的80%分位数为85故答案为：0.3；8513若复数，其中i为虚数单位，则|z|解：，故答案为：14将函数f（x）cos2x的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象若函数g（x）的图象关于原点对称，则的一个取值为 解：将函数f（x）cos2x的
14、图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象若函数g（x）cos（2x+2）的图象关于原点对称，则2k+，kZ，则的一个取值为，故答案为：15如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，且D1OOP给出下列结论：ACD1O；三棱锥PAA1D的体积为定值；点P在线段CE上（E为BB1的中点）；D1C1P面积的最大值为2其中所有正确结论的序号是 解：对于：由正方体的特征可得ACDD1，ACBD，又DD1BDD，所以AC平面D1DBB1，又因为D1O平面D1DBB1，所以ACD1O，故正确；对于：三棱锥PAA1D的体积为
15、ShAA1ADAB222，故正确；对于：当P位于C点是，D1OOC，当P位于BB1的中点E时，由已知得，DD12，DOBO，BEB1E1，B1D12，所以OD1，OE，D1E3，所以OD12+OE2D1E2，得OD1OE，又OEOCO，所以D1O平面OEC，得到P的轨迹在线段EC上，故正确；对于：由C1ECP1，CC12，所以点P到棱C1D1的最大值为，所以D1C1P面积的最大值为2，故错误故答案为：三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知向量（1，3），（1，2）（）求；（）求与夹角的大小；（）求|2|解：（）向量（1，3），（1，2）所以11+325；（）
16、cos，所以向量与夹角的大小为；（）|2|2（1，3）（1，2）|（3，4）|517BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI24为正常；24BMI28为偏胖；BMI28为肥胖某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高体重数据，计算得到他们的BMI，进而得到频率分布直方图如下：（）该公司男员工和女员工各有多少人？（）根据BMI及频率分布直方图，估计该公司男员
17、工为肥胖的有多少人？（）根据频率分布直方图，估计该公司男员工BMI的平均数为1，女员工BMI的平均数为2，比较1与2的大小（直接写出结论，不要求证明）解：（）由题可得男员工人数为30002000人，女员工人数为30001000人；（）男员工肥胖人数为2000（0.024+0.014）240人；（）12由图可得1180.084+220.114+260.034+300.024+340.01422.32，2140.024+180.114+220.074+260.034+300.02420.72，所以1218如图，在ABC中，D是BC边上一点，cosC，CD7，AC5（1）求AD的长；（2）若AB8，
18、求角B的大小解：（1）在ADC中，cosC，CD7，AC5利用余弦定理AD2AC2+CD22ACCDcosC32，解得AD4（2）利用余弦定理，所以sinBDAsinADC，在ABD中，利用正弦定理，整理得，故B19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，BCAC（）求证：B1C1平面A1BC；（）求证：平面A1BC平面ACC1A1（）若A1B2BC，求异面直线A1B与B1C1所成角的大小【解答】（）证明：由三棱柱的性质知，BCB1C1，BC平面A1BC，B1C1平面A1BC，B1C1平面A1BC（）证明：面ACC1A1面ABC，面ACC1A1面ABCAC，且BCACB
19、C面ACC1A1，又BC平面A1BC，平面A1BC平面ACC1A1（）解：BCB1C1，A1BC或其补角为异面直线A1B与B1C1所成角，由（）知，BC面ACC1A1，A1C面ACC1A1，BCA1C，在RtA1BC中，cosA1BC，异面直线夹角的范围为（0，A1BC，故异面直线A1B与B1C1所成角的大小为20已知函数的最小正周期为（）求的值；（）再从条件、条件、条件中选择一个作为已知条件，求函数g（x）f（x）+2cos2x在区间上的最小值条件：f（x）的图象过点；条件：f（x）的图象关于直线对称；条件：f（x）在区间上单调递增解：（I）函数f（x）的最小正周期为，0，（II）选择条件，
20、f（x）的图象过点，又|，f（x），g（x），当时，即x，f（x）取得最小值2，选择条件，f（x）的图象关于直线对称，又|，以下同选择条件，选择条件，函数f（x）的最小正周期为，f（x）在区间上单调递增，当x时，f（x）取得最大值，又|，以下同选择条件21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（）若平面ADE交PC于点G，求证：EGAD；（）求证：AE平面PBC；（）判断直线AF与平面PBC所成角的大小是否可以为，并说明理由【解答】（）证明：因为ABCD为正方形，所以ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC，又平面ADE交PC于点G，所以平面ADE平面PBCEG，又AD平面ADE，所以EGAD；（）证明：因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又ABCD为正方形，则BCAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE，因为PAAB，所以AEPB，且PBBCB，PB，BC平面PBC，故AE平面PBC；（）解：由（）可知，AFE即为直线AF与平面PBC所成的角，则sinAFE，设AEa，则ABBC，故BF，所以AF，则sinAFE，又AFE，故AFE，所以直线AF与平面PBC所成角的大小不可以为
