1、第二章 函数、导数及其应用 第十一节 导数在研究函数中的应用最新考纲考情索引核心素养1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).2018全国卷，T21 2018全国卷，T212018全国卷，T21 2017全国卷，T212017全国卷，T21 2017全国卷，T212016全国卷，T21 2016全国卷，
2、T71.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1函数的单调性与导数的关系函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_；(2)若 f(x)大小大小3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的_将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值连续不断极值最大最小1函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)
3、0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件2对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处有极值”的必要不充分条件3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然地认为极值就是最值4函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值一
4、定大于其极小值()(4)对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析：(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值(4)x0 为 f(x)的极值点的充要条件是 f(x0)0，且 x0两侧导函数异号答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人 A 选修 22P32A 组 T4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为()A1 B2 C3 D4解析：由题意知在 x1 处 f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负
5、右正答案：A(2)(人 A 选修 22P32A 组 T5(4)改编)函数 f(x)2xxln x 的极值是()A.1eB.2eCe De2解析：因为 f(x)2(ln x1)1ln x，当 f(x)0时，解得 0 xe；当 f(x)e，所以 xe 时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.答案：C3典题体验(1)(2019菏泽一中月考)函数 f(x)xln x 的单调递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)(2)(2017浙江卷)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是()(3)(2019佛山质检)函数 f(x)在定义域
6、 R 内可导，若f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf12，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系是_(由小到大)解析：(1)函数的定义域是(0，)，且 f(x)11xx1x，令 f(x)0，解得 0 x1，所以单调递减区间是(0，1)(2)利用导数与函数的单调性及零点情况进行验证f(x)0 的解集对应 yf(x)的增区间，f(x)0 的解集对应 yf(x)的减区间，验证只有 D 选项符合(3)依题意得，当 x1 时，f(x)0，则 f(x)在(，1)上为增函数；又 f(3)f(1)，且10121，因此有 f(1)f(0)f12，即有 f(3)f(0)f
7、12，即 cab.答案：(1)A(2)D (3)cab第 1 课时 导数与函数的单调性(基础课)考点 1 求函数的单调区间(典例迁移)典例体验(经典母题)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间解：(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex(12x352x22x)ex12x(x1)(x4)ex
8、.令 g(x)0，得 x(x1)(x4)0，解得1x0 或 x4.所以 g(x)的单调减区间为(1，0)，(，4)迁移探究1若典例中函数 f(x)变为“f(x)ln x12x2x”，试求 f(x)的单调区间解：因为 f(x)ln x12x2x，且 x(0，)，所以 f(x)1xx1x1 52x1 52x.令 f(x)0，得 x11 52，x21 52(舍去)由 f(x)0，得 0 x1 52；由 f(x)1 52.所以函数 f(x)的单调递增区间为0，1 52，单调递减区间为1 52，.2若典例中函数 f(x)变为“f(x)x22 aln x，aR”，求 f(x)的单调区间解：因为 f(x)x
9、22 aln x，且 x(0，)，f(x)xaxx2ax.(1)当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上为单调递增函数(2)当 a0 时，f(x)（x a）（x a）x，则有当 x(0，a)时，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(a，)综上所述，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)1求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求 f(x)(3)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递增区间(4)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递减区间2若所求函数的单
10、调区间不止一个时，这些区间不能用“”及“或”连接，可用“，”与“和”连接考点 2 讨论函数的单调性(讲练互动)典例体验(2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0，求 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，且 a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若 a0，则 f(x)e2x，在(，)上单调递增若 a0，则由 f(x)0，则 xlna2.当 x，lna2 时，f(x)0；当 xlna2，时，f(x)0.故 f(x)在，lna2上 单 调 递 减，在 区 间lna2，上单调递增(
11、2)当 a0 时，f(x)e2x0 恒成立若 a0，则由(1)得，当 xlna2 时，f(x)取得最小值，最小值为 f lna2 a234lna2，故当且仅当 a234lna2 0，即 a2e34时，f(x)0.综上，a 的取值范围是2e34，01(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点2个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)，f(x)在 R上是增函数变式训练已知函数 f(x)x4axln x32，其中 a
12、R，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)对 f(x)求导得 f(x)14 ax21x(x0)，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32(x0)，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.但1(0，)，舍去当 x(0，5)时，f(x)0；当 x(5，)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0，5)考点 3 函数单调性的简单应用(多维探究)角度
13、 比较大小或解不等式【例 1】已知 f(x)1xsin x，则 f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)f(3)f()Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3)Df()f(3)f(2)解析：因为 f(x)1xsin x，所以 f(x)1cos x，当 x(0，时，f(x)0，f(x)在(0，上是增函数，所以 f()f(3)f(2)答案：D【例 2】(2019惠州调研)已知函数 f(x)xsin xcos xx2，则不等式 f(ln x)fln 1x 2f(1)的解集为()A(e)B(0，e)C.0，1e(1，e)D.1e，e解析：f(x)xsin xcos xx2 是偶
14、函数，所以 fln 1x f(ln x)f(ln x)则原不等式可变形为 f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得 x0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增所以|ln x|11ln x11exe.答案：D角度 根据函数单调性求参数【例 3】(2019日照质检)已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x.(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数 a 的取值范围解：h(x)f(x)g(x)ln x12ax22x，x0.h(x)1xax2.(1)若函数 h(x)在(0，)上
15、存在单调减区间，则当 x0 时，1xax20 有解，即 a 1x22x有解设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min 即可又 G(x)1x1 21，所以 G(x)min1.所以 a1，即实数 a 的取值范围是(1，)(2)由 h(x)在1，4上单调递减，得当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，则 a 1x22x恒成立，所以 aG(x)max.又 G(x)1x1 21，x1，4，因为 x1，4，所以1x14，1，所以 G(x)max 716(此时 x4)，所以 a 716.当 a 716时，h(x)1x 716 x 2 167x232x16x（7x4）（x4）16x，因为 x1，
16、4，所以 h(x)（7x4）（x4）16x0，当且仅当 x4 时等号成立所以 h(x)在1，4上为减函数故实数 a 的取值范围是 716，.1利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小2已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围3若函数 yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0 在(a，b)上有解变式训练1已知函数 f(x)ln xx1x，若 af(e)，bf()，cf(log230)，则()AcbaBcabCbcaDacb解析：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1x1 1x2x12234x2log224e.所以 f(log230)f()f(e)，即cb0)，因为函数f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，所以 f(x)0 在区间(2，)上恒成立即 k1x在区间(2，)上恒成立，而 y1x在区间(2，)上单调递减，所以 k12，所以 k 的取值范围是12，.答案：B
