1、临汾市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷考生注意:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容:人教A版第一册占20%,第二册占80%第卷 选择题(共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设,则的虚部是( )A2B1CD2已知集合,则( )ABCD3下列命题错误的是( )A直棱柱的侧棱都相等,侧面都是矩形B用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台C若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直D棱台的侧棱延长后交于一
2、点,且棱台侧面均为梯形4在中,内角,的对边分别为,若,则( )A1B2C3D45利用斜二测画法得到:水平放置的三角形的直观图是三角形;水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;水平放置的正方形的直观图是菱形;水平放置的菱形的直观图是菱形以上结论正确的是( )ABCD6下列命题中为真命题的是( )A“”的充要条件是“”B“”是“”的充分不必要条件C命题“,”的否定是“,”D“,”是“”的必要条件7在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD8在中,已知,是内一点,且,若,则( )ABCD9声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为
3、复合音若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是( )A是奇函数B的最小正周期为C在区间上单调递增D的最小值为110在中,内角,的对边分别为,若,且,则一定是( )A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形11气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位为):甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为27;丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有( )A3个B2个C1个D0个12如图,正方体的棱
4、长为1,线段上有两个动点,且,则下列结论中错误的是( )A当点运动时总成立B当向运动时,二面角逐渐变小C二面角的最小值为45D三棱锥的体积为定值第卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡中的横线上13函数的单调递增区间为_14已知向量,且满足,则与的夹角为_15已知三棱锥外接球的表面积为,平面,则的长为_16某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验(满分150分),已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分,将这1000名学生的数学成绩分组如下:,得到的频率分布直方图如图所示,现有下列说法:;这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为1
5、00;这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4;这10000名学生数学成绩的平均数为115其中所有正确说法的序号是_三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在中,已知,(1)求;(2)若,求的值18(12分)已知函数的最小正周期为,且(1)求和的值(2)将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变),得到函数的图象,求函数的单调递增区间;求函数在上的最大值19(12分)疫情后,居民减少了乘坐公共交通工具的频率,于是私家车销量提升了现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计,将数据按照,分成4组,得到如图所示的频率
6、分布直方图(1)求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数;(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)(2)汽车销售店准备从去年下半年销售量在,之间的销售人员中,用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享,并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验,求这2人不是来自同一组的概率20(12分)如图,是等边三角形,平面,为的中点(1)证明:平面(2)证明:平面21(12分)在中,角,的对边分别为,已知,为外接圆的半径,(1)若,求的面积;(2)求的最大值,并判断此时的形状22(12分)已知,函数(1)判断函数在上的单调性,并证明;(2)设,若对任意,恒成立,求的取值范围临汾市202
7、0-2021学年高一下学期期末考试数学试卷参考答案1C 因为,所以它的虚部为2D 因为,所以3B 直棱柱的侧棱都相等,侧面都是矩形,A正确;若截面与底面不平行,则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台,B错误;易知C,D均正确4A 因为,所以,由,即,解得5A 对于,由斜二测画法规则知,水平放置的三角形的直观图还是三角形,正确;对于,根据平行性不变知,平行四边形的直观图是平行四边形,正确;对于,由平行于轴的线段长度不变,平行于轴的线段长度减半知,正方形的直观图不是菱形,错误;对于,由,所得直观图的对角线不垂直,所以直观图不可能为菱形,错误6C 对于A,当时,不存在,A错误;对于B,当,时,不成立,B
8、错误;根据命题的否定的定义知C正确;对于D,“,”是“”的充分条件,不是必要条件,D错误7D 连接(图略),因为,所以为异面直线与所成的角,设棱长为2,易知,所以8A 以为原点,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立平面直角坐标系,则,由于,可设,因为,所以,所以,解得9D 因为,所以是偶函数,A错误;显然是周期函数,因为,所以B错误;因为当时,所以在区间上单调递增,在上单调递减,C错误;由B中解答知是的周期,因为当时,当时,所以的最小值为1,D正确10D 因为,所以,解得,从而又,由,得,进一步整理得,所以,则,可知为等腰直角三角形11B 甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出
9、:甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26,其连续5天的日平均温度均不低于22乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为27,比如这5个数据从小到大排列为20,21,27,33,34满足条件,但是有低于22的数,故不确定丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,若有低于22,则取21,此时方差就超出了10.8,可知其连续5天的日平均温度均不低于22则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地,选B12B 对于A,易证平面,所以,同理可证,从而平面,所以恒成立,A正确;对于B,平面即平面,而平面即平面,所以当向运动时,二面角大小不变,B错误;对于C,当点从的中点向点运动时,
10、平面逐渐向底面靠拢,这个过程中,二面角越来越小,所以二面角的最小值为45,C正确;对于D,因为,点到平面的距离为,所以体积为,即体积为定值,D正确13,或写成也可以因为函数的定义域为,抛物线的对称轴为直线,开口向下,所以的单调递增区间为14 设与的夹角为,因为,所以,解得,所以,解得1512 设球的半径为,外接圆的半径为,由,得,由,得,因为,所以16 对于,由,得,正确;对于,正确;对于,因为,所以中位数,由,得,正确;对于,这1000名学生数学成绩的平均数为,错误17解:(1)因为,所以又因为,所以,从而(2)因为由,解得18解:(1)的最小正周期为,所以,即又因为,则,所以(2)由(1)
11、可知,则由,得函数的单调递增区间为因为,所以当,即时,函数取得最大值,最大值为19解:(1)由图可得,平均数台(2)销售量在的销售人员有人,销售量在的销售人员有人,分层抽样的比例为所以从组应抽取人,从组应抽取人记从组抽取的3人为,从组抽取的2人为,则从中任选2人,基本事件共有10个,分别为,其中不是来自同一组的情况共有6个,分别为,则这2人不是来自同一组的概率为20证明:(1)如图,取的中点,连接,因为,所以,又因为,所以,四边形为平行四边形,所以因为平面,平面,所以平面(2)因为平面,所以又因为是等边三角形,是的中点,所以因为,所以平面由(1)知,所以平面,从而因为,为的中点,所以又,所以平面21解:(1)由,得又因为,所以,解得又,所以由余弦定理得,所以,因为,所以,所以(2)由余弦定理得,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为,此时为等边三角形方法二:用正弦定理计算同样给分22(1)证明:当时,在上单调递减任取,由于,所以,所以,故在上单调递减(2)解:依题意,令,所以在上单调递减,在上单调递增,且当和时,而当时,所以,因为,所以,故因为对任意,恒成立,所以,即,化简得,解得,故的取值范围是