1、第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用最新考纲考情索引核心素养1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活的广泛应用.2018浙江卷，T112018天津卷，T142017全国卷，T32017北京卷，T142016全国卷，T41.数学建模2.直观想象3.数学运算1指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增图象的变
2、化随 x 的增大逐渐表现为与_平行随 x 的增大逐渐表现为与_平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0 时，有 logaxxnaxy轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数
3、学模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢2充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键3易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按
4、进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大()(3)不存在 x0，使 ax0 xn01)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度()解析：(1)9 折出售的售价为 100(110%)91099 元，所以每件赔 1 元，(1)错(2)中，当 x2 时，2xx24，(2)错根据幂、指、对函数模型变化规律知(3)错，(4)正确答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x0.500.992.01
5、3.98y0.990.010.982.00则对 x，y 最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x(2)(人 A 必修 1P59A 组 T6 改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2020 年B2021 年C2022 年D2023 年解析：(1)根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0
6、.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意(2)设经过 n 年资金开始超过 200 万元，130(112%)n200.两边取对数，得 nlg 1.12lg 2lg 1.3，所以 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，所以 n4，所以从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元答案：(1)D(2)B3典题体验(1)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)12x22x20(万元)一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为
7、()A36 万件B18 万件C22 万件D9 万件(2)(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是_解析：(1)利润 L(x)20 xC(x)12(x18)2142，当 x18 万件时，L(x)有最大值(2)设总费用为 y 万元，则 y600 x 64x4x900 x 240.当且仅当 x900 x，即 x30 时，等号成立所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：(1)B(2)30考点 1 利用函数图象刻画实际问题(自主演练)1(2019长春检测)
8、“乌龟赛跑”是一则经典故事：兔子与乌鱼在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程时间图象()解析：由故事内容知乌龟达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选项 C 正确答案：C2物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：由运输效率
9、(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选 B.答案：B3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图象知消耗 1 L 汽油，乙车最多行驶里程大于 5 km，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率
10、最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 km/h 的速度行驶时燃油效率为 10 km/L，行驶 1 h，里程为 80 km，消耗 8 L汽油，故选项 C 错；最高限速 80 km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选项 D 正确答案：D1当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案2图形、表格直观地刻画出变量间的依存关系，考查学生的直观想象等数学核心素养考点 2 已知函数模型求解实际问题(讲练互动)典例体
11、验为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值解：(1)当 x0 时，C8，所以 k40，所以 C(x)403x5(0 x10)，所以 f(x)6x20403x5 6x 8003x5(0 x10
12、)(2)由(1)得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，则 y2t800t 10，所以 y2800t2，当 5t20 时，y0，y2t800t 10 为减函数；当 20t35 时，y0，y2t800t 10 为增函数所以函数 y2t800t 10 在 t20 时取得最小值，此时x5，因此 f(x)的最小值为 f(x)min6580035570.所以隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元1求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数2利用该函数模型
13、，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验变式训练某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)当 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)2x310（x6）2 210(
14、x3)(x6)2，3x6.f(x)30(x4)(x6)，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值 42单调递减由上表可得，x4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值，所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大考点 3 构造函数模型求实际问题(多维探究)角度 构建二次函数、分段函数模型【例 1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)
15、是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值解：(1)由题意得，当 0 x4 时，v2，当 4x20 时，设 vaxb，显然 vaxb 在(4，20内是减函数，由已知得20ab0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52.故函数 v2，0 x4，18x52，4x20.
16、(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意由(1)得f(x)2x，0 x4，18x252x，4x20.当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)18x252x18(x220 x)18(x10)2252，f(x)maxf(10)12.5.所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.故当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米角度 构建指数、对数型函数模型【例 2】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量
17、 Q 之间的关系为 vablog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故有 ablog390101，整理得 a2b1.解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，v1log3Q10.所以要使飞
18、行速度不低于 2 m/s，则有 v2，即1log3Q102，即 log3Q103，解得 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位1解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答2(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型，但应关注两点：分段要合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)中的最大(或最小)值(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入
19、验证，确定参数求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化变式训练1某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3解析：设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 ymx，010.则 10m(x10)2m16m，解得 x13.答案：A2将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为()A5 B8C9 D10解析：因为 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数 yf(t)aent 满足 f(5)ae5n12a，可得 n15ln 12，所以 f(t)a12t5，因此，当 k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)a12k514a，即12k514，所以 k10，所以 mk51055.答案：A
