1、2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第在象限D第四象限2sin18sin78cos162cos78等于（）ABCD3一次数学考试后，某老师从自己带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学的中位数为73，则xy的值为（）A2B2C3D34“x1”是“x+2”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件5执行如下程序框图，则
2、输出结果为（）A2B3C4D56已知l，m，n为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若=l，m，m，则mlD若=m，=n，lm，ln，则l7ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，ca=2，b=3，则a=（）A2BC3D8若双曲线C1： =1与C2： =1（a0，b0）的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b=（）A2B4C6D89某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD810某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为（）ABC
3、D11在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则n取值为（）A12B13C14D1512函数f（x）=x2+3x+a，g（x）=2xx2，若f（g（x）0对x0，1恒成立，则实数a的取值范围是（）Ae，+）Bln2，+）C2，+）D（，0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.13已知集合A=0，1，3，B=x|x23x=0，则AB=14已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最大值是15已知等边ABC的边长为2，若，则=16存在实数，使得圆面x2+y24恰好覆盖函数y=sin（x+）图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是三、解答题：本大题
4、共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在数列an中，（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列an的前n项和18某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：有效无效合计使用方案A组96120使用方案B组72合计32（）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；（）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.323
5、2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819四棱锥EABCD中，ADBC，AD=AE=2BC=2AB=2，ABAD，平面EAD平面ABCD，点F为DE的中点（1）求证：CF平面EAB；（2）若CFAD，求二面角DCFB的余弦值20设A，B为抛物线y2=x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P（）求点P的坐标；（）M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由21已知f（x）=e，其中e为自然对数的底数（1）设g（x）=（x+1）f（x）（其中f（
6、x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（1，+）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F（）若DBA=60，求证：点E为AD的中点；（）若CF=R，其中R为圆C的半径，求DBA选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负
7、半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin=a（a3）（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值选修4-5：不等式选讲24已知a0，b0，记A=+，B=a+b（1）求AB的最大值；（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并说明理由2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第在象限D第四象限【考点】复数的代数表示法
8、及其几何意义【分析】本题考查的是复数的计算【解答】解：Z=，故选D2sin18sin78cos162cos78等于（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案【解答】解：sin18sin78cos162cos78=sin18cos12+cos18sin12=sin30=，故选：D3一次数学考试后，某老师从自己带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学的中位数为73，则xy的值为（）A2B2C3D3【考点】茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值
9、【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；xy=03=3故选：D4“x1”是“x+2”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据基本不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：当x1，由基本不等式可得x+2当且仅当x=1时取等号，充分性成立若x+2，则x0，必要性不成立，“x1”是“x+2”的充分不必要条件，故选：A5执行如下程序框图，则输出结果为（）A2B3C4D
10、5【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=6时，满足条件TS，退出循环，输出n的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0，T=20T=10，S=1，n=2不满足条件TS，T=5，S=3，n=3不满足条件TS，T=，S=6，n=4满足条件TS，退出循环，输出n的值为4故选：C6已知l，m，n为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若=l，m，m，则mlD若=m，=n，lm，ln，则l【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论【解答】解：（A）若
11、m，n，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCDABCD中，设平面ABCD为平面，平面CDDC为平面，直线BB为直线m，直线AB为直线n，则m，n，但直线AB与BB不垂直，故B错误（C）设过m的平面与交于a，过m的平面与交于b，m，m，=a，ma，同理可得：naab，b，a，a，=l，a，al，lm故C正确（D）在正方体ABCDABCD中，设平面ABCD为平面，平面ABBA为平面，平面CDDC为平面，则=AB，=CD，BCAB，BCCD，但BC平面ABCD，故D错误故选：C7ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，ca=2，b=3，则a=（）A
12、2BC3D【考点】余弦定理【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，由余弦定理可得cosA=，代入数据可得=，解方程可得a=2故选：A8若双曲线C1： =1与C2： =1（a0，b0）的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b=（）A2B4C6D8【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线C1的渐近线方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=2，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4【解答】解：双曲线C1： =1的渐近线方程为y=2x，由题意可得C2： =1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，即有b=2a，又2c=4，即c=2，即有
13、a2+b2=20，解得a=2，b=4，故选：B9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体该几何体的体积V=23=故选：C10某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=44，再求出恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数，由此能求出恰有一
14、个项目未被抽中的概率【解答】解：某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，基本事件总数n=44，恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数为：m=，恰有一个项目未被抽中的概率为p=故选：A11在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则n取值为（）A12B13C14D15【考点】二项式定理的应用【分析】先求和，再利用二项展开式的通项公式，结合在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，列出方程求出n【解答】解： =，在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，Cn+13=Cn+111，3+11=n+1，即n=13，故选：B12函数f（x）=x2+3
15、x+a，g（x）=2xx2，若f（g（x）0对x0，1恒成立，则实数a的取值范围是（）Ae，+）Bln2，+）C2，+）D（，0【考点】函数恒成立问题【分析】确定g（x）在x0，1上的值域为1，g（x0），（g（x0）=，再分离参数求最大值，即可求实数a的取值范围【解答】解：令t=g（x），x0，1，则g（x）=2xln22x设g（x0）=0，则函数在0，x0上单调递增，在x0，1上单调递减，g（x）在x0，1上的值域为1，g（x0），（g（x0）=f（t）0，即at23t，a2故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.13已知集合A=0，1，3，
16、B=x|x23x=0，则AB=0，3【考点】交集及其运算【分析】直接利用交集的定义即可求出【解答】解：集合A=0，1，3，B=x|x23x=0=0，3），则AB=0，3，故答案为：0，314已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最大值是4【考点】简单线性规划【分析】作平面区域，化简目标函数z=xy为y=xz，从而求最大值【解答】解：作平面区域如下，化简目标函数z=xy为y=xz，故当过点（2，2）时，z=xy有最大值为2（2）=4，故答案为：415已知等边ABC的边长为2，若，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标
17、，然后利用向量数量积的坐标运算得答案【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，等边ABC的边长为2，且，则B（1，0），D（，），A（0，），E（，0），故答案为：216存在实数，使得圆面x2+y24恰好覆盖函数y=sin（x+）图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是（，【考点】三角函数的周期性及其求法；圆方程的综合应用【分析】由题意可得T=2k22T，即可解得正数k的取值范围【解答】解：函数y=sin（x+）图象的最高点或最低点一定在直线y=1上，由，解得：，由题意可得：T=2k，T22T，解得正数k的取值范围是：（，故答案为：（，三、解答
18、题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在数列an中，（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列an的前n项和【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）通过对an+1=an变形可知=，进而可知数列是首项、公比均为的等比数列；（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】（1）证明：an+1=an，=，又=，数列是首项、公比均为的等比数列；（2）解：由（1）可知=，Sn=+2+（n1）+n，两式相减得： Sn=+n，Sn=1+n=n=218某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，
19、统计结果如下：有效无效合计使用方案A组96120使用方案B组72合计32（）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；（）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用【分析】（）根据题意，填写列联表，计算使用方案A、B有效的频率值，比较即可；（）计算观测值K2，对照数表即可得出结论【解答】解：（）根据题意，
20、填写列联表如下；有效无效合计使用方案A组9624120使用方案B组72880合计16832200使用方案A有效的频率是=0.8，使用方案B有效的频率是=0.9，使用使用方案B治疗有效的频率更高些；（）计算观测值K2=3.5713.841；所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关19四棱锥EABCD中，ADBC，AD=AE=2BC=2AB=2，ABAD，平面EAD平面ABCD，点F为DE的中点（1）求证：CF平面EAB；（2）若CFAD，求二面角DCFB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明CF平面
21、EAB；（2）若CFAD，建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角DCFB的余弦值【解答】解：（1）取AE的中点G，连接FG，GB，点F为DE的中点，GFAD，且GF=AD，ADBC，AD=2BC，GFBC，且GF=BC，四边形CFGB为平行四边形，则CFBG，而CF平面EAB，BG平面EAB，CF平面EAB（2）CFAD，ADBG，ABAD，AD平面EAB，ADEA，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCD=AD，EA平面ABCD，以A为坐标原点，以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），F（0，1，1），设平面BCF的法
22、向量为=（x，y，z），则，即，即，令x=1，则z=1，即=（1，0，1），平面CDF的法向量为=（x，y，z），同理得=（1，1，1），则cos，=由于二面角DCFB是钝二面角，二面角DCFB的余弦值是20设A，B为抛物线y2=x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P（）求点P的坐标；（）M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（I）求出A，B坐标，设切线斜率得出切线方程，联立方程组，令判别式=0得出斜率，从而求出切线方程，再联立切线方程
23、解出P点坐标；（II）设M（y02，y0）（1y02），根据向量的基本定理列方程组解出，计算即可【解答】解：（I）A（1，1），B（4，2），设l1的方程为y+1=k（x1），即y=kxk1，联立方程组，消元得：ky2yk1=0，=1+4k（k+1）=0，解得k=l1方程为：y=x同理可得l2方程为：y=x+1联立方程组，解得P点坐标为（2，）（II）设M（y02，y0）（1y02），则=（y02+2，y0）. =（3，），=（6，），解得=，=+=121已知f（x）=e，其中e为自然对数的底数（1）设g（x）=（x+1）f（x）（其中f（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（1，+）上的
24、单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可【解答】解：（1）f（x）=e，f（x）=，g（x）=（x+1）（），g（x）= （x+3）1，当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增（2）由F（x）=ln（x+1）af（x）+4知，F（x）=（g（x），由（1）知，g（x）在（1，+）上单调递增，且g（1）=
25、0 可知当x（1，+）时，g（x）（0，+），则F（x）=（g（x）有唯一零点，设此零点为x=t，易知x（1，t）时，F（x）0，F（x）单调递增；x（t，+）时，F（t）0F（x）单调递减知F（x）max=F（t）=ln（t+1）af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）+4，则G（x）=，易知f（x）0在（1，+）上恒成立，G（x）0，G（x）在（1，+）上单调递增，且G（0）=0，当0a4时，g（t）=g（0），由g（x）在（1，+）上单调递增，知t0，则F（x）max=F（t）=G（t）G（0）=0，由F（x）在（1，t）上单调递增，1e410t，f（x）0，g（t）0在（1
26、，+）上均恒成立，则F（e41）=af（e41）0，F（t）F（e41）0F（x）在（1，t）上有零点，与条件不符；当a=4时，g（t）=g（0），由g（x）的单调性可知t=0，则F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；当a4时，g（t）=g（0），由g（x）的单调性知t0，则F（x）max=F（t）=G（t）G（0）=0，此时F（x）没有零点综上所述，当F（x）=ln（x+1）af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a（4，+）请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.选修4-1：几何证明
27、选讲（共1小题，满分10分）22已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F（）若DBA=60，求证：点E为AD的中点；（）若CF=R，其中R为圆C的半径，求DBA【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）先证明出ABD为等边三角形，再连BE，根据三线合一定理证明出点E为AD的中点；（2）连CO，运用中位线定理证明出BECF，继而证出BE=R，最后求出DAB【解答】解：（）证明：AB为圆O的直径，ACBD，而BC=CDAB=AD，而DBA=60，ABD为等边三角形，连BE，由AB为圆的直径，ADBE
28、，E为AD中点（）连CO，易知COAD，CF为圆O的切线，CFCO，CFAD，又BEAD，BECF，且CF=BE，由CF=知BE=R，DAB=30选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin=a（a3）（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C的极坐标方程为22sin=a（a3），把2=x2+y2，y=sin代入化为直角坐标方程（II）直线l：为参数），消去
29、参数t，化为普通方程利用直线与圆相切的充要条件即可得出【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为22sin=a（a3），化为直角坐标方程：x2+y22y=a，配方为：x2+=3+a0（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程：y=0曲线C与直线l有唯一公共点，圆心到直线l的距离d=3+a，解得a=3选修4-5：不等式选讲24已知a0，b0，记A=+，B=a+b（1）求AB的最大值；（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并说明理由【考点】有理数指数幂的化简求值【分析】（1）代入配方利用二次函数的单调性即可得出最大值；（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，令=x0， =y0，化为，令x+y=t0，化为t2+t10=0，判断此方程是否有实数根即可得出【解答】解：（1）AB=+ab=+11，当且仅当a=b=时取等号AB的最大值是1（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，令=x0， =y0，化为，令x+y=t0，化为t2+t10=0，=1+40=410，且t1t2=100上述方程有正实数根，因此存在a，b，使得A+B=6，ab=4同时成立2016年8月25日
