1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算目标定位重点难点1.掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律3.了解共轭复数的概念和性质重点：理解复数的乘除法运算法则难点：理解复数乘法的运算律1复数的乘法法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)(cdi)_.(acbd)(adbc)i2复数乘法的运算律对任意 z1，z2，z3C，有交换律z1z2_结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律 z1(z2z3)_z2z1z1(z2z3)z1z2z1z33共轭复数如果两个复数满足_时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数
2、用 z表示，即 zabi(a，bR)，则 z_.4复数的除法法则设 z1abi(a，bR)，z2cdi(cdi0 且 c，dR)，则z1z2abicdi_.实部相等、虚部互为相反数abiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)1复数(32i)i等于()A23i B23iC23i D23i【答案】B2已知复数z2i，则z z的值为()A5 B 5 C3 D 3【答案】A3i 是虚数单位，则 2i31i等于()A1iB1iC1iD1i【答案】C4已知i是虚数单位，则复数(1i)2()A2 B2 C2i D2i【答案】D复数代数形式的乘除法运算【例 1】计算：(1)(12i)(34i)；(
3、2)1i31i31i21i2；(3)12 32 i 41 3i222i2.【解题探究】利用复数乘、除法法则计算即可【解析】(1)原式12i34i12i34i34i34i510i251525i.(2)(方法一)原式13i1ii313i1ii32i2i4i4i1.(方法二)原式1i1i1i21i1i1i21i1i1i1i221.(3)原式12 32 i 2 222 3i41i212 32 i 21 3i4i12 32 i14i 3412 34 14 32 i.(1)进行复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可方便计算，简化运算过程比如1ii，(1i)22i，(1i
4、)22i，1i1ii，1i1ii，abii(bai)，abibaii 等等(2)运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式比如第(2)题中的法一（3）虚数单位 i 的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，inin1in2in30(nN).1.（1）(2019 年湖北武汉模拟)已知 a，bR，i 是虚数单位若(ai)(1i)bi，则 abi()A12i B12iC2i D2i（2）计算 i1i2i3i2 020_.【答案】(1)A(2)0【解析】（1）因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，所以 a10，a1b，即 a1，b2，所以 abi12i.（2）解法一：原式i(
5、1i2 020)1ii1(i2)1 0101ii(11)1i 0.解法二：因为 i1i2i3i40，所以 inin1in2in30(nN)，所以 i1i2i3i2 020(i1i2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 017i2 018i2 019i2 020)0.共轭复数的应用【例 2】已知复数 z 的共轭复数为 z且 z z3iz 1013i，求 z.【解题探究】先设 zxyi(x，yR)，再利用复数相等的充要条件转化为实数问题【解析】设 zxyi(x，yR)，则 zxyi，由已知，得(xyi)(xyi)3i(xyi)1013i，x2y23xi3y1013i10，x2y23y3xi13i，
6、x2y23y1，3x3，x1，y0或y3.z1 或 z13i.z z|z|2|z|2 是复数实数化的理论依据，应记牢用熟此外，设 zxyi(x，yR)是解决求复数 z 一类问题的通法2设 z1 是复数，z2z1i z 1(其中 z 1 表示 z1 的共轭复数)，已知 z2 的实部是1，则 z2 的虚部为_【答案】1【解析】设 z1xyi，z2xyii(xyi)(xy)(yx)i.又 z2 实部 xy1，z2 的虚部 yx1.复数的模与实数的绝对值混淆致误【示例】试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数【错解】将方程变为|x|25|x|60|x|2或|x|3x2或x3.故共有4个【错因】这里
7、常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.【正解】设 xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b25 a2b262abi0a2b25 a2b260，2ab0a2，b0或a3，b0或a0，b1，即 x2 或 x3 或 xi.故方程在复数集上的解共有 6 个【警示】在复数集 C 中，|z|代表的是复数 z 的模；而在实数集 R 中，|z|代表的是实数 z 的绝对值1复数的四则运算与多项式运算的类似性，为我们掌握复数的代数形式下的运算带来了方便，但必须注意复数运算与多项式运算的差异，突出复数的特征，注意复数的除法运算
8、是以变分母为实数为目的，不可以与实数的除法运算等同起来2在进行乘除法运算时，灵活运用 i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用1(2019 年河北唐山模拟)在复平面内与复数 z 2i1i所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为()A1i B1i C1i D1i【答案】B【解析】因为 z 2i1i2i1i1i1ii(1i)1i，所以 A 点坐标为(1，1)，其对应的复数为 1i.2.(2019 年广东中山期末)1i1i1i1i21i1i31i1i10()A1 B1 Ci Di【答案】D【解析】因为1i1ii，所以原式ii2i3i10i12310i55i3i.3(2017年山东)已知aR，i是虚数单位，若za 3i，z z 4，则a()A1或1 B 7或 7C 3 D 3【答案】A【解析】由za 3i，则z的共轭复数 z a 3i，由z z(a3 i)(a3 i)a234，则a21，解得a1，a的值为1或1.故选A4(2018年河南商丘模拟)已知 12i2abi(a，bR，i为虚数单位)，则ab()A7 B7 C1 D1【答案】B【解析】12i214i 4i234i，34iabi，则a3，b4.ab7.
