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《考前三个月》2015届高考数学(人教通用文科)中档大题规范练(圆锥曲线).docx

上传人:高**** 文档编号:467039 上传时间:2024-05-28 格式:DOCX 页数:9 大小:51.50KB
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资源描述

1、中档大题规范练圆锥曲线1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实半轴长为.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围解(1)设双曲线方程为1 (a0,b0),由已知,得a,c2,b2c2a21,故双曲线方程为y21.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由题意,知解得k1.所以当k1时,直线l与双曲线C的左支有两个交点(3)由(2),得xAxB,所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2,

2、所以AB中点P的坐标为.设l0的方程为yxb,将P点的坐标代入l0的方程,得b,k1,213k20,b0)的焦点为F2,设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0,y0),|PF1|.(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程;(2)直线xm与椭圆C1在第一象限的交点为Q,若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M,N,使得36|AQ|235|AM|AN|,求出直线l的方程解(1)在椭圆C1中cm,e,a2m,b23m2,设椭圆C1的方程为1,联立1与y24mx,得3x216mx12m20,即(x6m)(3x2m)0,得x或6m(舍去),代入y24mx得y,设点P的坐标为

3、(,),|PF2|m,|PF1|2a,m1,此时,椭圆C1的标准方程为1,抛物线C2的标准方程为y24x.(2)由题设知直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x4),由消去y整理,得(34k2)x232k2x64k2120.由题意知(32k2)24(34k2)(64k212)0,解得kb0)右焦点的直线xy0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1,得0.因为1,设P(x0,y0),因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y

4、0x0,即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2,即a22(a2c2),即a22c2,又因为右焦点(c,0)在直线xy0上,解得c,所以a26,所以M的方程为1.(2)因为CDAB,直线AB方程为xy0,所以设直线CD方程为yxm,将xy0代入1得:3x24x0,即A(0,),B,所以可得|AB|;将yxm代入1得:3x24mx2m260,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|,又因为16m212(2m26)0,即3mb0),O:x2y2b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是O上的动点(1)若P(1,),PA是O的切线,求椭圆C的方程(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒

5、为常数?如果存在,求出这个常数及C的离心率e;如果不存在,说明理由解(1)由P(1,)在O:x2y2b2上,得b2134.直线PA的斜率kPA,而直线PA的斜率kPA,所以,解得a4.所以a216,所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在椭圆C,使得恒为常数设椭圆C的半焦距为c,当P(b,0)时,则有;当P(b,0)时,.依假设有.当cb0时,有,所以(ab)(bc)(ab)(cb),化简整理得ac,这是不可能的当cb0时,有.所以(ab)(bc)(ab)(bc),化简整理得acb20.所以c2a2ac0,两边同除以a2,得e2e10.解得e,或e(0,1)(舍去)可见,若存在椭圆C满足题意,只可

6、能离心率e.设P(x,y)为O:x2y2b2上任意一点,则.(*)由上c2a2ac0,得a2c2ac,所以c1,从而.代入(*)式得,所以存在满足题意的椭圆C,这个常数为 ,椭圆C的离心率为e.5已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时,y24x;当x0时,y0.所以,动点P的轨迹C的方程为y24x (x0)和y0 (x0)(2)

7、由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1x22,x1x21.因为l1l2,所以l2的斜率为.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3x424k2,x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484216.当且仅当k2,即k1时,取最小值16.6在平面直角坐标系xOy中,动点P在椭圆C1:y21上,且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x2的距离之比等于椭圆的

8、离心率动点Q是动圆C2:x2y2r2(1r2)上一点(1)设椭圆C1上的三点A(x1,y1),B(1,),C(x2,y2)与点F(1,0)的距离依次成等差数列,线段AC的垂直平分线是否经过一个定点?说明理由(2)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P,Q两点的距离|PQ|的最大值解(1)椭圆C1:y21的离心率e,右焦点为(1,0),由题意可得|AF|(2x1),|BF|(21),|CF|(2x2)因为2|BF|AF|CF|,所以(2x1)(2x2)2(21),即得x1x22.因为A,C在椭圆上,故有y1,y1,两式相减,得kAC.设线段AC的中点为(m,n),而m1,n,所以与

9、直线AC垂直的直线斜率为ky2y12n.则线段AC的垂直平分线的方程为yn2n(x1),即yn(2x1)经过定点(,0)即线段AC的垂直平分线过一个定点(,0)(2)依题意得,直线PQ的斜率显然存在,设直线PQ的方程ykxt,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由于直线PQ与椭圆C1相切,点P为切点,从而有得(2k21)x4ktx12(t21)0.故(4kt)242(t21)(2k21)0,从而可得t212k2,x1,直线PQ与圆C2相切,则r,得t2r2(1k2),由得k2,并且|PQ|2|OP|2|OQ|21r23r232(1)2.即0|PQ|1,当且仅当r2(1,4)时取等号,故P,Q两点的距离|PQ|的最大值为1.

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