1、1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0).余弦函数ycos x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk,kZ值域1,11,1R单调性在2k,2k(kZ)上递增;在2k,2k(kZ)上递减在2k,2k(kZ)上递增;在2k,2k(kZ)上递减在(k,k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时,ymax1;当x2k(kZ)时,ymin1当x
2、2k(kZ)时,ymax1;当x2k(kZ)时,ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k,0)(kZ)(k,0) (kZ)(,0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数.()(2)常数函数f(x)a是周期函数,它没有最小正周期.()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(4)已知yksin x1,xR,则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数.()(6)若sin x,则x.()1.已知函数f(x)sin (0)的最小正周期为,则f等于()A.1 B.
3、C.1 D.答案A解析因为函数f(x)sin (0)的最小正周期为,所以2,则fsinsin 1,所以选A.2.函数ytan 2x的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由2xk,kZ,得x,kZ,ytan 2x的定义域为.3.若函数f(x)sin x(0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则等于()A. B.C.2 D.3答案B解析f(x)sin x(0)过原点,当0x,即0x时,ysin x是增函数;当x,即x时,ysin x是减函数.由f(x)sin x(0)在上单调递增,在上单调递减知,.4.(2015安徽)已知函数f(x)Asin(x)(A,均为正的常数)的最小正周期为,
4、当x时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2)C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0,min,故f(x)Asin(2x).于是f(0)Asin ,f(2)AsinAsinAsin,f(2)AsinAsinAsinAsin.又44,又f(x)在上单调递增,f(2)f(2)0)的最小正周期为,则该函数的图像()A.关于直线x对称B.关于点对称C.关于直线x对称D.关于点对称(2)已知函数y2sin的图像关于点P(x0,0)对称,若x0,则x0_.答案(1)A(2)解析(1)依题意得T,2,故f(x)sin,所以fsin
5、sin 10,fsinsin 0,因此该函数的图像关于直线x对称.(2)由题意可知2x0k,kZ,故x0,kZ,又x0,k0时,x0.命题点3由对称性求参数例5若函数ycos(N)图像的一个对称中心是,则的最小值为()A.1 B.2C.4 D.8答案B解析由题意知k(kZ)6k2(kZ),又N,min2,故选B.思维升华(1)对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)求三角函数周期的方法:利用周期函数的定义.利用公式:yAsin(x)和yA
6、cos(x)的最小正周期为,ytan(x)的最小正周期为.(1)已知函数f(x)2sin(x),对于任意x都有ff,则f的值为_.(2)已知函数f(x)sin xacos x的图像关于直线x对称,则实数a的值为()A. B.C. D.答案(1)2或2(2)B解析(1)ff,x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴.f2.(2)由x是f(x)图像的对称轴,可得f(0)f,解得a.4.三角函数的对称性、周期性、单调性典例(1)(2015四川)下列函数中,最小正周期为且图像关于原点对称的函数是()A.ycosB.ysinC.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x(2)(2015课标全
7、国)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ(3)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立,且f()1,则实数b的值为()A.1 B.3C.1或3 D.3思维点拨(1)逐个验证所给函数是否满足条件;(2)根据图像先确定函数的周期性,然后先在一个周期内确定f(x)的减区间;(3)由f(x)f(x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴处的性质求解即可.解析(1)选项A中,ycossin 2x,符合题意.(2)由图像知,周期T22,2,.由2k,kZ,不妨取,f(x)cos.由2kx2k,kZ,得2kx
8、0)的形式.2.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为,ytan(x)的最小正周期为.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx,将其转化为研究ysin t的性质.4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题:首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.失误与防范1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号,若0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,
9、则的最小值是()A. B.1 C. D.2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ,将代入得sin 0,则2k,kZ,且0,故的最小值为2.4.关于函数ytan,下列说法正确的是()A.是奇函数B.在区间上单调递减C.为其图像的一个对称中心D.最小正周期为答案C解析函数ytan是非奇非偶函数,A错误;在区间上单调递增,B错误;最小正周期为,D错误.当x时,tan0,为其图像的一个对称中心,故选C.5.函数ycos 2xsin2x,xR的值域是()A.0,1 B.,1 C.1,2 D.0,2答案A解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1,y0,1.6.函数ycos(2
10、x)的单调减区间为_.答案k,k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得,2k2x2k(kZ),故kxk(kZ).所以函数的单调减区间为k,k(kZ).7.已知函数f(x)Acos2(x)1 (A0,0,0)的最大值为3,f(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)f(2)f(2 015)_.答案4 030解析f(x)cos(2x2)1.由相邻两条对称轴间的距离为2,知2,得T4,由f(x)的最大值为3得A2.又f(x)的图像过点(0,2),cos 20,2k (kZ),又00,0,0)的最小正周期为,且图像上有一个最低点为M.(1)求f(x)的解
11、析式;(2)求函数yf(x)f的最大值及对应x的值.解(1)由,得2.由函数f(x)图像的一个最低点为M,得A3.且22k(kZ),0,f(x)3sin.(2)yf(x)f3sin3sin3sin3cos3sin,ymax3.此时,2x2k,kZ,即xk,kZ.B组专项能力提升(时间:20分钟)11.已知函数f(x)2sin(2x)(|),若f()2,则f(x)的一个单调递减区间是()A., B.,C., D.,答案C解析由f()2得f()2sin(2)2sin()2,所以sin()1.因为|0,0).若f(x)在区间上具有单调性,且fff,则f(x)的最小正周期为_.答案解析f(x)在上具有
12、单调性,T .ff,f(x)的一条对称轴为x.又ff,f(x)的一个对称中心的横坐标为.T,T.14.已知函数f(x)Atan(x)(0,|),yf(x)的部分图像如图,则f()_.答案解析由题中图像可知,此正切函数的半周期等于,即最小正周期为,所以2.由题意可知,图像过定点(,0),所以0Atan(2),即k(kZ),所以k(kZ),又|0,函数f(x)2asin2ab,当x时,5f(x)1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)f且lg g(x)0,求g(x)的单调区间.解(1)x,2x.sin,2asin2a,a.f(x)b,3ab,又5f(x)1,b5,3ab1,因此a2,b5.(2)由(1)得,f(x)4sin1,g(x)f4sin14sin1,又由lg g(x)0,得g(x)1,4sin11,sin,2k2x2k,kZ,其中当2k2x2k,kZ时,g(x)单调递增,即kxk,kZ,g(x)的单调增区间为,kZ.又当2k2x2k,kZ时,g(x)单调递减,即kxk,kZ.g(x)的单调减区间为,kZ.