1、1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0).余弦函数ycos x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x
2、2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数.()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期.()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数.()(6)若sin x，则x.()1.已知函数f(x)sin (0)的最小正周期为，则f等于()A.1 B.
3、C.1 D.答案A解析因为函数f(x)sin (0)的最小正周期为，所以2，则fsinsin 1，所以选A.2.函数ytan 2x的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.3.若函数f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则等于()A. B.C.2 D.3答案B解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数.由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.4.(2015安徽)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，
4、当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2)C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0，min，故f(x)Asin(2x).于是f(0)Asin ，f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsinAsin.又44，又f(x)在上单调递增，f(2)f(2)0)的最小正周期为，则该函数的图像()A.关于直线x对称B.关于点对称C.关于直线x对称D.关于点对称(2)已知函数y2sin的图像关于点P(x0,0)对称，若x0，则x0_.答案(1)A(2)解析(1)依题意得T，2，故f(x)sin，所以fsin
5、sin 10，fsinsin 0，因此该函数的图像关于直线x对称.(2)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k0时，x0.命题点3由对称性求参数例5若函数ycos(N)图像的一个对称中心是，则的最小值为()A.1 B.2C.4 D.8答案B解析由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N，min2，故选B.思维升华(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义.利用公式：yAsin(x)和yA
6、cos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_.(2)已知函数f(x)sin xacos x的图像关于直线x对称，则实数a的值为()A. B.C. D.答案(1)2或2(2)B解析(1)ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴.f2.(2)由x是f(x)图像的对称轴，可得f(0)f，解得a.4.三角函数的对称性、周期性、单调性典例(1)(2015四川)下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是()A.ycosB.ysinC.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x(2)(2015课标全
7、国)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(3)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()A.1 B.3C.1或3 D.3思维点拨(1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图像先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f(x)的减区间；(3)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可.解析(1)选项A中，ycossin 2x，符合题意.(2)由图像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx
8、0)的形式.2.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质.4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.失误与防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，
9、则的最小值是()A. B.1 C. D.2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.4.关于函数ytan，下列说法正确的是()A.是奇函数B.在区间上单调递减C.为其图像的一个对称中心D.最小正周期为答案C解析函数ytan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误.当x时，tan0，为其图像的一个对称中心，故选C.5.函数ycos 2xsin2x，xR的值域是()A.0,1 B.，1 C.1,2 D.0,2答案A解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,1.6.函数ycos(2
10、x)的单调减区间为_.答案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得，2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ).所以函数的单调减区间为k，k(kZ).7.已知函数f(x)Acos2(x)1 (A0，0,0)的最大值为3，f(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)f(2)f(2 015)_.答案4 030解析f(x)cos(2x2)1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知2，得T4，由f(x)的最大值为3得A2.又f(x)的图像过点(0,2)，cos 20，2k (kZ)，又00，0,0)的最小正周期为，且图像上有一个最低点为M.(1)求f(x)的解
11、析式；(2)求函数yf(x)f的最大值及对应x的值.解(1)由，得2.由函数f(x)图像的一个最低点为M，得A3.且22k(kZ)，0，f(x)3sin.(2)yf(x)f3sin3sin3sin3cos3sin，ymax3.此时，2x2k，kZ，即xk，kZ.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f()2，则f(x)的一个单调递减区间是()A.， B.，C.， D.，答案C解析由f()2得f()2sin(2)2sin()2，所以sin()1.因为|0，0).若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_.答案解析f(x)在上具有
12、单调性，T .ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.14.已知函数f(x)Atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图像如图，则f()_.答案解析由题中图像可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图像过定点(，0)，所以0Atan(2)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间.解(1)x，2x.sin，2asin2a，a.f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.