1、专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法了解间接证明的一种基本方法：反证法专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)推理证明是数
2、学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面在历年的高考中，推理与证明有举足轻重的地位、选择题、填空题，解答题均有体现，考查方式主要是(1)给定命题的证明问题，证明方法高考中不单独命题，而是将其融合在诸如立体几何，解析几何、函数、数列、不等式等内容中加以考查(2)类比型问题(3)归纳、猜想、证明问题(文科学生对数学归纳法不作要求)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习
3、 数学(新课标版)1合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)简言之，归纳是由特殊到一般的推理专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)2演
4、绎推理(1)演绎推理的定义根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理简言之，演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理(2)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明(1)直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法专题七 不等式、推理与证明
5、、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法用Q表示要证
6、明的结论，则分析法可用框图表示为：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)4间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明pq转向证明：綈 qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断綈 q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)5数学归纳法(理)一个与自然数相关
7、的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当nk(kN，且kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例1(2009湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的
8、1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1024 C1225 D1378专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)答案 C分析 三角形数 1,3,6,9，的通项公式为 annn12，正方形数 1,4,9,16的通项公式为 bnn2，某数即是三角形数又是正方形数，应该满足两个通项公式专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 根据图形的规律可知第 n 个三角形数为 annn12，第 n 个正方形数为 bnn2.由此可排除 D(1378 不是平方数)将 A、B、C 选项代入到
9、三角形数表达式中检验可知，符合题意的是 C 选项专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析(1)归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一(2)在本例中，由归纳出三角形数所具有的特点，由归纳出正方形数具有的规律，只需代入验证即可专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011山东理，15)设函数 f(x)xx2(x0)，观察：f1(x
10、)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案 x2n1x2n专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 依题意：f1(x)xx2x21x2，f2(x)x3x4x221x22，f3(x)x7x8x231x23，f4(x)x15x161241x24.当 nN*且 n2 时，fn(x)x2n1x2n.专题七 不等式、推理与证
11、明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 2 在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点 P(0，p)在线段 AO 上(异于端点)，设 a，b，c，p 均为非零实数，直线 BP，CP分别交 AC，AB 于点 E，F，一同学已正确算出 OE 的方程：1b1c x1p1a y0，请你求 OF 的方程：(_)x1p1a y0.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析“观察、类比”是解决本题的基本思路，由于直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种“对称性”，观察直线OE的方程
12、和题目中给出的直线OF的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答了答案 1c1b专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 类比法E 在 AC 上，OE 的方程为：(1b1c)x(1p1a)y0.F 在 AB 上，它们的区别在于 B、C 互换因而 OF 的方程应为(1c1b)x(1p1a)y0.括号内应填：1c1b.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011宁波模拟)在 RtABC 中，CACB，斜边 AB 上的高为 h1，则 1h21 1CA2 1CB
13、2；类比此性质，如图，在四面体PABC 中，若 PA，PB，PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为h，则得到的正确结论为_答案 1h2 1PA2 1PB2 1PC2专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 本题考查了合情推理的能力连结 CO 并延长交 AB 于点 D，连结 PD，由已知可得 PCPD，在直角三角形 PDC 中，DChPDPC，则 PD2PC2hPDPC，所以 1h2PD2PC2PD2PC2 1PC2 1PD2.容易知道 AB平面 PDC，专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)所以 ABPD，在直角
14、三角形 APB 中，ABPDPAPB，所以 PA2PB2PDPAPB，1PD2PA2PB2PA2PB2 1PA2 1PB2，故 1h2 1PA2 1PB21PC2.(也可以由等体积法得到).专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例3 已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1an(nN*)，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学
15、(新课标版)分析 解答本题第(1)问可根据bnan1an(nN*)将已知等式变形构造出bn与bn1的关系式第(2)问可用叠加法求an，第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利用an 的 通 项 公 式 和 q 的 值，推 证 an an 3 an 6 an(nN*)解析(1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1(n2)又b1a2a11，q0，所以数列bn是首项为1，公比为q的等比数列专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)解：由(1)，a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)
16、将以上各式相加，得 ana11qqn2(n2)，所以当 n2 时，an11qn11q q1nq1，上式对 n1 显然成立专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)证明：由(2)，当 q1 时，显然 a3 不是 a6与 a9 的等差中项，故 q1.由 a3a6a9a3 可得 q5q2q2q8，由 q0 得，q311q6整理得(q3)2q320，解得 q32 或 q31(舍去)，于是 q3 2.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)另一方面，anan3qn2qn11q qn11q(q31)，an6anqn1qn51q
17、 qn11q(1q6)，由可得 anan3an6an，nN*，所以对任意的 nN*，an 是 an3 与 an6 的等差中项专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 综合法与分析法是直接证明中的姊妹证明方法，通过情况下，运用分析法，由果寻因，找到一个正确的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写，不管是何种方法，都要以事实为基本推理依据.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011北京理，20)若数列An：a1，a2，an(n2)满足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称An为E数列记S(An)a1a2a
18、n.(1)写出一个满足a1a50，且S(A5)0的E数列A5；(2)若a112，n2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an2011.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5)(2)必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak1ak1(k1,2，1999)所以An是首项为12，公差为1的等差数列所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，专题七 不等式、推理与证明、算法与复数
19、 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)a2a11，所以a2000a11999，即a2000a11999.又因为a112，a20002011，所以a2000a11999.故ak1ak10(k1,2，1999)，即An是递增数列综上，结论得证.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 4(2011山东潍坊)等差数列an的前 n 项和为Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习
20、 数学(新课标版)分析(1)先求公差d，再求an与Sn.(2)用反证法证明解析(1)由已知得a1 213a13d93 2，d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由(1)得 bnSnn n 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr.即(q 2)2(p 2)(r 2)(q2pr)2(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr02qpr0，专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(pr2)2pr，(pr)20，pr.与 p
21、r 矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法凡是含有“至少”“唯一”或含有其它否定词的命题，适宜用反证法即“正难则反”反证法属于间接证法，其步骤是“三步曲”：(1)假设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果；(3)结论：肯定原命题的正确性专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)已知数列an和bn满足：a1，an123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为实
22、数，n 为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析 根据反证法的步骤作出证明解析(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a22a1a3，即(233)2(494)49249492490，矛盾，所以an不是等比数列专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)因为 bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(23an2n14)23(1)n(an3n21)23bn.又 b1(18)，所以当 18 时，bn0(n
23、N*)，此时bn不是等比数列；专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)当 18 时，b1(18)0，由 bn123bn可知 bn0，所以bn1bn 23(nN*)故当 18 时，数列bn是以(18)为首项，23为公比的等比数列.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例5(2010江苏，23)已知ABC的三边长都为有理数(1)求证：cosA是有理数；(2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理
24、知cosAAB2AC2BC22ABAC是有理数(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sinAsinnA 都是有理数当 n1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有sinAsinA1cos2A 也是有理数专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)假设当nk(k1)时，coskA和cosAsinkA都是有理数当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k 1)A sinA(sinAcoskA cosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知cos(k1)A与sinAs
25、in(k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 数学归纳法为那些变形、转化较为困难的问题提供了一种可供推理解决的方法用数学归纳法证明不等式时，在把nk的不等式经为nk1的不等式成立的命题时，比较法、综合法、分析法、放缩法等不等式证明的方法仍然是常用的；用数学归纳法证明整除性问题和几何问题时，要注意寻找当元素n增加1时，代数式或几何元素是如何增加的，做到有目标地变形专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2010湖南理，21)数列
26、an(nN*)中，a1a，an1是函数 fn(x)13x312(3ann2)x23n2anx 的极小值点当 a0 时，求通项 an.专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 易知fn(x)x2(3ann2)x3n2an(x3an)(xn2)令fn(x)0，得x3an，xn2.若3ann2当x0，fn(x)单调递增；当3anxn2时，fn(x)0，fn(x)单调递减当x0，fn(x)单调递增故fn(x)在xn2取得极小值专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)若3ann2，仿可得，fn(x)在x3an取得极小值 若3
27、ann2，则fn(x)0，fn(x)无极值当a0时，a10，则3a112.由知，a2121.因3a2332，由知，a43a334.因3a43642，由知，a53a4324.由此猜想：当n3时，an43n3.下面先用数学归纳法证明：当n3时，3ann2.事实上，当n3时，由前面得讨论知结论成立专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)假设当nk(k3)时，3akk2成立，则由知，ak13akk2，从而3ak1(k1)23k2(k1)22k(k2)2k10，所以3ak1(k1)2.故当n3时，an43n3.于是由知，当n3时，an13an，而a34，因此an43n3.综上所述，当a0时，a10，a21，an43n3(n3)专题七 不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)
