1、六空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行(15分钟30分)1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交【解析】选C.因为(9，2，1)(9，3，4)(0，5，3)，所以AB平面yOz.2设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()Al BlCl Dl或l【解析】选D.因为ab0，所以l或l.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)【解析】因为AA1平面ABC，B1B平面ABC，所以可以作为平面ABC的法向量答案：4已知直线l的方
2、向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且l，则m_【解析】因为l，所以l的方向向量与的法向量垂直所以(2，m，1) 2m20.解得m8.答案：85如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量【解析】如图，以A为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则，.易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，所以平面SDC的一个法向量为(2，1，1). (
3、30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1空间直角坐标系中，A(1，2，3)、B(1，0，5)、C(3，0，4)、D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】选A.因为(2，2，2)，(1，1，1)，所以2，所以.即ABCD.2已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PAAB，PAAC，则xz()A B C D1【解析】选D.由题设，(x，1，z)，(1，1，1)，(2，0，1)，因为PAAB，PAAC，所以0，0，所以解之得xz1.3如图，PA平面ABCD，四边形
4、ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12 B11 C31 D21【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.4若平面，的一个法向量分别为m，n，则()A B与相交但不垂直C或与重合 D. 【解析】选C.因为n3m，所以mn，所以或与重合【误区警示】本题容易漏掉与重合的情况二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错
5、的得0分)5若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面法向量的是()An1(2，3，1) Bn2(200，300，100)Cn3(2，3，) Dn4(2，3，0)【解析】选ABC.因为n1n，n2100n，n3n，所以n1n，n2n，n3n，即n1、n2、n3都能作为的法向量6已知平面内有一点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(3，2，1) BPCP DP【解析】选AB.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0.对于选项A，(1，1，1)，则n(1，1，1)(3，1，2)0，点P在平面内；对于
6、选项B，则n(3，1，2)0，点P在平面内；对于选项C，则n(3，1，2)60，点P不在平面内；对于选项D，则n(3，1，2)120，点P不在平面内三、填空题(每小题5分，共10分)7已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号).【解析】2(1)(1)2(4)(1)2240，则，则ABAP.4(1)2200，则，则APAD.又ABADA，所以AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量答案：8在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱
7、AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是_，若D1EEC，则AE_【解析】长方体ABCDA1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0m2，则(1，m，1)，(1，0，1)，所以1010，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90.因为(1，m，1)，(1，2m，0)，D1EEC，所以1m(2m)00，解得m1，所以AE1.答案：901四、解答题(每小题10分，共20分)9四边形ABCD为正
8、方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.求证：PC平面BAQ.【证明】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，为x轴的正方向建立空间直角坐标系根据题意，(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，故有0，0，所以为平面BAQ的一个法向量又因为(0，2，1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故有PC平面BAQ.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B
9、(2，2，0)，D1(0，0，2)，所以(1，1，0)，(1，1，1)，(2，2，2).设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则令x1，则y1，z2，所以平面PAO的一个法向量为n1(1，1，2).若平面D1BQ平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量设Q(0，2，c)，则(2，0，c)，n10，即22c0，所以c1，这时n12240.所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.【创新迁移】1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BPA1E，BQA1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是
10、_；(2)的最小值为_【解析】(1)以D为空间直角坐标系的原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，如图所示，A1(1，0，1)，E，B(1，1，0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，(a1，b1，1)，(m1，n1，1)，因为BPA1E，BQA1E，所以解得所以(nb，nb，0)，(1，1，0)，所以PQ与BD的位置关系是平行；(2)由(1)可知：ba，当a时， 有最小值，最小值为.答案：(1)平行(2)2如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.【解析】因为PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0).不妨令P(0，0，t)，所以(1，1，t)，(1，1，0)，设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，所以n.设点G的坐标为(0，0，m)，又E，则.要使EG平面PFD，只需n0，即0m10，即m0，解得mt，所以满足AGAP的点G即为所求
