1、2015年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）=（） A B C D 【考点】： 运用诱导公式化简求值【专题】： 三角函数的求值【分析】： 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解析】： 解：sin（）=sin（4+）=sin=，故选：C【点评】： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2（5分）设a=log4，c=4，则a，b，c的大小关系是（） A acb B bca C cba D cab【考点】： 对数值大小的比较【专题】： 函数
2、的性质及应用【分析】： 利用指数与对数函数的单调性即可得出【解析】： 解：0a=log41，0，c=4，1，cab，故选：D【点评】： 本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题3（5分）已知an为各项都是正数的等比数列，若a4a8=4，则a5a6a7=（） A 4 B 8 C 16 D 64【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由等比数列的性质可得a6=2，而a5a6a7=a63，代值计算可得【解析】： 解：an为各项都是正数的等比数列且a4a8=4，由等比数列的性质可得a62=a4a8=4，a6=2，再由等比数列的性质可得a5a6a7=a63=8，故选：
3、B【点评】： 本题考查等比数列的性质，属基础题4（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（） A 12，s1s2 B 1=2，s1s2 C 1=2，s1=s2 D 12，s1s2【考点】： 众数、中位数、平均数；茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】： 解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，
4、87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=（7885）2+（7985）2+0+0+（8685）2+（9185）2+（9285）2=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=（7785）2+（7885）2+0+0+（8785）2+（9285）2+（9385）2=，1=2，s1s2故选：B【点评】： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5（5分）已知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分
5、也不必要条件【考点】： 命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 规律型【分析】： 由pq为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由p是假命题，知p是真命题由此可知“pq是真命题”是“p是假命题”的充分不必要条件【解析】： 解：pq为真命题，p和q或者同时都是真命题，由p是假命题，知p是真命题“pq是真命题”推出“p是假命题”，反之不能推出则“pq是真命题”是“p是假命题”的充分而不必要条件故选A【点评】： 本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解6（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（） A 1，3 B 1，11 C 1，
6、3 D 1，11【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围【解析】： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，1）时，z最小，Z最小值=1，x0时，直线方程为：y=2x+z，过（6，1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D【点评】： 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题7（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）当x3，1）时，f（x）=（x+2）2，当x1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+
7、f（3）+f（2015）=（） A 336 B 355 C 1676 D 2015【考点】： 数列与函数的综合【专题】： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】： 直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可【解析】： 解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）可得函数的周期为：6，当x3，1）时，f（x）=（x+2）2，当x1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（3）=1，f（4）=f（2）=0，f（5）=f（1）=1，f（6）=f（0）=0，2015=6335+5，f（1）+f（2）+f（3）+f（2015）=f（1）+f（2）
8、+f（3）+f（4）+f（5）+335f（1）+f（2）+f（6）=1+21+01+335（1+21+01+0）=336故选：A【点评】： 本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力8（5分） 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0，1（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0a1，h1=h0a2，运算规则为：00=0，01=1，10=1，11=0，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是
9、（） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 压轴题【分析】： 首先理解的运算规则，然后各选项依次分析即可【解析】： 解：A选项原信息为101，则h0=a0a1=10=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0a1=11=0，h1=h0a2=00=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0a1=01=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0a1=00=0，h1=h0a2=01=1
10、，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C【点评】： 本题考查对新规则的阅读理解能力二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15（用数字作答）【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求【解析】： 解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由令3，得r=2展开式中的常数项为故答案为：6；15【点评】： 本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题10（5分）已知正数x，y
11、满足x+y=xy，则x+y的最小值是4【考点】： 基本不等式【专题】： 计算题【分析】： 依题意由基本不等式得x+y=xy，从而可求得x+y的最小值【解析】： 解：x0，y0，xy，又x+y=xy，x+y，（x+y）24（x+y），x+y4故答案为：4【点评】： 本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题11（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a0）有且只有一个公共点，则a=【考点】： 参数方程化成普通方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可【解析】： 解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方
12、程为（x4）2+y2=a2（a0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=a，即a=，故答案为：【点评】： 本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法12（5分）若双曲线=1（a0，b0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求得抛物线y2=4x的准线为x=1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a【解析】： 解：抛物线y2=4x的准线为x=1，代入双曲线=1，可得y
13、=b，由题意可得，b=2b，解得a=故答案为：【点评】： 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题13（5分）已知非零向量，满足|=1，与的夹角为120，则|的取值范围是（0，【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 设，由已知与的夹角为120可得ABC=60，由正弦定理=得|=sinC，从而可求|的取值范围【解析】： 解：设，如图所示：则由又与的夹角为120，ABC=60又由|=|=1由正弦定理=得|=sinC|（0，故答案为：【点评】： 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质
14、，属于中档题14（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”给出下列四个命题：若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个若pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线其中所有正确命题的序号为【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误【解析】： 解：若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是
15、两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确若pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为（0，q）（q0）或（p，0）（p0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确综上可得：只有正确故答案为：【点评】： 本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（13分）已知函数f（x）=（）求f（x）的定义域及其最大值；（）求f（x）在（0，）上的单调递增
16、区间【考点】： 三角函数的最值【专题】： 三角函数的求值【分析】： （）解sinx0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（）由和x（0，）可得f（x）在（0，）上的单调递增区间【解析】： 解：（）由sinx0，得xk（kZ）f（x）的定义域为xR|xk，kZ，=2cosx2sinx=，f（x）的最大值为；（）函数y=cosx的单调递增区间为2k+，2k+2（kZ）由，xk（kZ），且x（0，），f（x）在（0，）上的单调递增区间为【点评】： 本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题16（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门
17、课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程（）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率（）X的可能取值为：0，1，2，3求出概率，得到X为分布列，然后求解期望【解析】： （共13分）解：（）
18、设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”则，因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为 （4分）（）设事件C为“丙同学选中C课程”则X的可能取值为：0，1，2，3=X为分布列为：（13分）【点评】： 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力17（14分）如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC侧面ADEB，AB=4，DEB=60，G是DE的中点（）求证：CE平面AGF；（）求证：GB平面BEFC；（）在线段BC上是否存在一点P，使二面角PGEB为45，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由【考点】
19、： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）根据线面平行的判定定理即可证明CE平面AGF；（）根据线面垂直的判定定理即可证明GB平面BEFC；（）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论【解析】： （）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG因为G为DE的中点，所以HGCE因为CE平面AGF，HG平面AGF，所以CE平面AGF （）证明：BE=1，GE=2，在GEB中，GEB=60，BG=因为BG2+BE2=GE2，所以GBBE因为侧面BEFC
20、侧面ADEB，侧面BEFC侧面ADEB=BE，GB平面ADEB，所以GB平面BEFC （）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系Bxyz假设在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB为45平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，），0，1，E（0，1，0）所以=（，0，），设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=，所以PGE的法向量为因为mn=1，所以，解得0，1，故因此在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB为45，且【点评】： 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本
21、方法18（13分）已知函数f（x）=x+aex（）当a=e2时，求f（x）在区间1，3上的最小值；（）求证：存在实数x03，3，有f（x0）a【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用【分析】： （）当a=e2时，f（x）=x+e2x，x1，3；f（x）=1e2x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（）“存在实数x03，3，有f（x0）a”等价于f（x）的最大值大于a；且f（x）=1aex，从而分当a0时，当a0时两大类讨论，再在a0时分ae3时，e3ae3时与0ae3时讨论，从而证明【解析】： 解：（）当a=e2时，f（x）=x+e2x
22、，x1，3；f（x）=1e2x，由f（x）=0得x=2；则x，f（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3（）证明：“存在实数x03，3，有f（x0）a”等价于f（x）的最大值大于a因为f（x）=1aex，所以当a0时，x3，3，f（x）0，f（x）在（3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）f（0）=a所以当a0时命题成立；当a0时，由f（x）=0得x=lna则xR时，x，f（x），f（x）关系如下：（1）当ae3时，lna3，f（x）在（3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（3）f（0）=a所以当ae3时命题成立；（2）当e3ae3时，3lna3，所以f
23、（x）在（3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增所以f（x）的最大值为f（3）或f（3）；且f（3）f（0）=a与f（3）f（0）=a必有一成立，所以当e3ae3时命题成立；（3）当0ae3时，lna3，所以f（x）在（3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）f（0）=a所以当0ae3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x3，3使f（x）a成立【点评】： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题19（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4（）求椭圆C的方程；（）设A为椭圆C的左顶点，
24、过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P证明：|AM|AN|=2|OP|2【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论【解析】： 解：（）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得
25、a=2，b=1所以椭圆C的标准方程为（）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）由 得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0（*）设A（2，0），M（x1，y1），则2，x1是方程（*）的两个根，所以所以=则设直线OP的方程为：y=kx由 得（1+4k2）x24=0设P（x0，y0），则，所以，所以|AM|AN|=2|OP|2【点评】： 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题20（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=a（a3），设，nN*（1）求证：数列
26、bn是等比数列；（2）若an+1an，nN*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，pN*且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由【考点】： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】： 综合题；新定义【分析】： （1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列bn是等比数列；（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，从而可求得an=，由an+1an，可
27、求得a9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数分当p为偶数时与当p为奇数讨论即可得到答案【解析】： 解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn3n，nN*，当a3时，=2，所以bn为等比数列b1=S13=a3，bn=（a3）2n1（2）由（1）可得Sn3n=（a3）2n1，an=SnSn1，n2，nN*，an=，an+1an，a9，又a3，所以a的最小值为9；（3
28、）由（1）当a=4时，bn=2n1，当n2时，Cn=3+2+4+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1由tp=2n+1，tp1=2n，（t，pN*且t1，p1），t只能是不小于3的奇数当p为偶数时，tp1=（+1）（1）=2n，因为tp+1和tp1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，1=2h，2g2h=2，2h（2gh1）=2，所以2h=2且2gh1=1h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；当p为奇数时，tp1=（t1）（1+t+t2+tp1），由于1+t+t2+tp1是p个奇数之和，仍为奇数，又t1为正偶数，所以（t1）（1+t+t2+tp1）=2n不成立，此时没有“指数型和”【点评】： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题
