1、第42课数学归纳法【自主学习】第42课 数学归纳法(本课时对应学生用书第108109页)自主学习回归教材1. (选修2-2P88练习2改编)设nN*，用数学归纳法证明2+4+6+2n=n2+n时，第一步应证明：左式=.【答案】22. (选修2-2P88例4改编)设nN*，f(n)=5n+23n-1+1，通过计算n=1，2，3，4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值整除.【答案】8【解析】f(1)=8=81，f(2)=32=84，f(3)=144=818，f(4)=680=885，所以猜想f(n)能被8整除.3. (选修2-2P91习题7改编)已知数列an满足a1=1，且4an+1-anan
2、+1+2an=9，则可以通过求a2，a3，a4的值猜想出an=.【答案】【解析】由题知a1=1，a2=，a3=，a4=，猜想an=.4. 由1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，可得出的一般性结论是 .【答案】n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2 (nN*)【解析】第n个式子的左边首项为n，公差为1，共2n-1项，所以左边=n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)，式子右边是(2n-1)2.5. (选修2-2P89例5改编)设n条直线把一个平面分成rn个部分，通过n=1，2，3，4画出图形观察rn可发现rk=1+1+2+3+4+k.若利用数学归纳法对此结论进
3、行证明，当n=k+1时，需证rk+1=rk+.【答案】k+1【解析】当n=k+1时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，产生k个交点，这k个交点把这条直线分成了k+1段，且每一段将原有的平面分成两个部分，即增加了k+1个部分.1. 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.2. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明当n取第一个正整数n0时命题成立；(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.完成这两步可断定从正整数n0开始的所有命题都成立.【要点导学】要点导学各个击破利用数学归纳法证明等式例1是否存在常数a，b使等式+=对于一
4、切nN*都成立?若不存在，请说明理由；若存在，请用数学归纳法证明.【思维引导】先从特殊情形n=1，n=2时等式必须成立，求出a，b的值，然后用数学归纳法的角度加以证明，在这里必须指出的是：若题目没有讲要用数学归纳法证明，我们也应从数学归纳法考虑，因为等式的左边我们无法通过数列求和的知识解决，其次本题是与自然数有关的命题证明，我们应优先考虑数学归纳法，证明时必须严格遵循数学归纳法的证明步骤，做到规范化.【解答】若存在常数a，b使等式成立，将n=1，n=2代入等式，有解得a=1，b=4，即有 +=对于一切nN*都成立. 下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，左边=，右边=，所以等式成立.(2)假
5、设当n=k(k1且kN*)时等式成立，即+=，当n=k+1时，+=+=，所以当n=k+1时，等式也成立.综上所述，等式对任意的nN*都成立.【精要点评】用数学归纳法证明一些等式时，关键在于先看“项”，弄清等式两边构成的规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的关系，由n=k到n=k+1时等式两边会增加多少项.利用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明不等式1+2(nN*).【解答】(1)当n=1时，左边=1，右边=2，所以当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k2，kN*)时不等式成立，即1+2，那么当n=k+1时，左边=1+2+，因为4k2+4k4k2+4k+1，可得22k+1，即2+=
6、(nN*).【解答】(1)当n=1时，1，不等式成立.(2)假设当n=k(k1，kN*)时不等式成立，即1+，则当n=k+1时，1+=1+=+=，所以当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2)知，1+(nN*).利用数学归纳法证明整除问题例3已知f(n)=(2n+7)3n+9，问：是否存在自然数m，使得对任意的正整数n，都能使m整除f(n)?如果存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由.【解答】当n=1时，f(1)=36；当n=2时，f(2)=108；当n=3时，f(3)=360.猜想：存在最大整数m=36能整除f(n).证明：当n=1时，由以上知结论成立.假设当n=k
7、(k1，kN*)时，结论成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，那么当n=k+1时，f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1)，由归纳假设知(2k+7)3k+9能被36整除，又18(3k-1-1)能被36整除，所以当n=k+1时，结论也成立.故由可知对任意的正整数n，结论都成立.变式用数学归纳法证明：42n+1+3n+2能被13整除，其中nN*.【解答】 (1)当n=1时，421+1+31+2=91，显然91能被13整除.(2)假设当n=k(k1，kN*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+
8、3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)，因为42k+113能被13整除，所以当n=k+1，结论也成立.综上，42n+1+3n+2(nN*)能被13整除.归纳猜想证明例4(2014广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，nN*，且S3=15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式.【思维引导】(1)利用n=1，2，3可求出a1，a2，a3的值；(2)利用(1)中的结论归纳出数列an的通项公式，并以此归纳出Sn的表达式，然后利用数学归纳法证明数列an的通项公式的正确性.【解答】(1)
9、由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn=2n(Sn+1-Sn)-3n2-4n，整理得2nSn+1=(2n+1)Sn+3n2+4n，因此有4S3=5S2+20，即415=5S2+20，解得S2=8.同理有2S2=3S1+7，即28=3S1+7，解得S1=3，所以a1=S1=3，a2=S2-S1=8-3=5，a3=S3-S2=15-8=7.(2)由题意得an+1=+2，由(1)知a1=3，a2=5，a3=7，猜想an=2n+1，假设当n=k (kN*)时，猜想成立，即ak=2k+1，则有Sk=k(k+2)，则当n=k+1时，有ak+1=+2=+2=2k+3=2(k+1)+1，这说明当n=k+1时
10、，猜想也成立.根据(1)和(2)可知，对任意的nN*，an=2n+1.【精要点评】(1)本试题主要是考查数列的通项公式的求解和数学归纳法证明的运用.(2)数学归纳法与数列相结合是命题的一种趋势.(3)主要考查从特殊到一般的推理方式.变式设f(n)=-n，其中n为正整数.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)猜想满足不等式f(n)0的正整数n的取值范围，并用数学归纳法证明你的猜想.【解答】(1)f(1)=1，f(2)=，f(3)=-.(2)猜想：当n3时，f(n)=-n0.证明：当n=3时，f(3)=-0成立.假设当n=k(k3，kN*)时猜想成立，即f(k)=-k0，所以k，则当n=
11、k+1时，由于=k=k+k+1，所以k+1，即f(k+1)=-(k+1)0成立，由可知，对n3，f(n)=-n0成立.1. 用数学归纳法证明：1-+-+-=+时，第一步应验证：左式是，右式是.【答案】1-2. (2015哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1+时，f(2k+1)比f(2k)多项.5若f(n)=+(nN*)，则f(n+1)-f(n)=.6若凸n边形的内角和为f(n)，则凸n+1边形的内角和f(n+1)=f(n)+.7已知，那么由此猜想出的第n个数为.8已知x(0，+)，不等式x+2，x+3，x+4，可推广为x+n+1，那么实数a的值为.二、 解答题 9用数学归纳法证明(3n+1)
12、7n-1(nN*)能被9整除.10求证：1+(nN*).11(2015宿迁一模)已知数列an的各项均为正整数，对于任意的nN*，都有2+0)，数列an满足a1=f(x)，an+1=f(an).(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明.【检测与评估答案】第42课数学归纳法1 42 1+【解析】当n=1时，式子的末项应为.3 4k+2【解析】当n=k时，等号左边的代数式为(k+1)(k+2)(k+k)，当n=k+1时，等号左边的代数式为(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k-1(k+1)+k(k+1)+k+1，所以左边需要增添的代数式是=4k+24 2
13、k5 -【解析】+-=-.6 180【解析】凸n边形每增加一条边，内角和增加180.7 【解析】观察根式的规律，根号下和式的第一项与第二项的分子相同，而分母可表示为13，24，35，46，故第n个数为.8 nn【解析】因为x+1+1，x+2+1，x+3+1，所以该系列不等式可推广为x+n+1，所以a=nn.9 当n=1时，47-1=27，能被9整除.假设当n=k(k1，kN*)时，(3k+1)7k-1能被9整除，那么当n=k+1时，3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)
14、7k.因为以上三式均能被9整除，所以当n=k+1时命题也成立.由可知，原命题对一切nN*均成立.10 当n=1时，不等式显然成立.假设当n=k(k1，kN*)时不等式成立，即1+，则当n=k+1时，1+=，故当n=k+1时，不等式也成立.由可知，1+(nN*).11 (1)当n=1时，由2+22+，即有2+2+，解得a1.因为a1为正整数，所以a1=1当n=2时，由2+62+，解得8a310因为a3是正整数，所以a3=9(2)由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2下面用数学归纳法证明：当n=1，2，3时，由(1)知an=n2均成立.假设n=k(k3，kN*)成立，则ak=k2由条件得2+k(k+1)2+，所以ak+1，所以(k+1)2-ak+1(k+1)2+.因为k3，01，01，又ak+1N*，所以ak+1=(k+1)2，即当n=k+1时，an=n2也成立.综上所述，对任意的nN*，an=n2.12 (1)由题意得a1=f(x)=，a2=f(a1)=，a3=f(a2)=，a4=f(a3)= .(2)猜想：an=(nN*).证明：当n=1时，a1=f(x)=，结论成立.假设当n=k(k1，kN*)时，结论成立，即ak=，那么当n=k+1时，ak+1=f(ak)=，即当n=k+1时，结论成立.由可知，an= .