1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)观察正弦函数ysin x与余弦函数ycos x的图象【问题1】正弦函数的单调区间是什么？【问题2】正弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？【问题3】余弦函数的单调性与最值情况呢？正弦函数、余弦函数的单调性与最值解析式ysin xycos x图象值域1，11，1单调性在2k，2k(kZ)上单调递增，在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增，在2k，2k(kZ)上单调递减最值x2k，(kZ)时，ymax
2、1；x2k，(kZ)时，ymin1x2k，(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin11本质：函数的单调递增、单调递减是描述函数图象上升或下降的性质，三角函数也是如此，只不过三角函数的增区间、减区间交替变化，都有无数个2混淆：要遵循“定义域优先的原则”，求单调区间与最值时，一定不要忽视定义域正弦函数在第一象限是增函数，这种说法对吗？提示：这种说法是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调递增区间上，ysin x都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间1ycos x在上是单调函数吗？2当x时，ysin x取得最小值吗？3函数ycos x的图象有无数条对称轴吗？4函数ys
3、in x，x的最大值为0吗？提示：1.不是；2.不是；3.是；4.是教材P204图5.48画出的若是ycos x在，上的图象，你能说出其单调区间吗？提示：增区间，；减区间.1下列区间是函数ysin x1的增区间的是()A BC D【解析】选A.函数ysin x1与函数ysin x的单调区间相同2函数y2cos x1的值域为_【解析】由1cos x1，所以1y3.答案：1，3基础类型一正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)1下列函数，在上单调递增的是()Aysin x Bycos xCysin 2x Dycos 2x【解析】选D.对于A，B，C，在上显然都不是单调递增的，对于函数ycos 2x
4、，令2k2x22k(kZ)，即kxk(kZ)，故ycos 2x的单调递增区间是(kZ)，则当k0时，单调递增区间为.2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0，5 B5，10C10，15 D15，20【解析】选C.因为F(t)504sin (t0)，所以由2k2k，kZ.得4kt4k，kZ.因为t0，所以当k0时，递增区间为0，当k1时，递增区间为3，5，因为10，153，5，所以此时函数单调递增3函数y3cos 的单调递减区间是()A，kZB，kZC，kZD，kZ【解析】选A.因为y3cos
5、3cos ，令2k2x2k，求得kxk，kZ可得函数的减区间为，kZ.求形如yA sin (x)或yA cos (x)的函数的单调区间，要先把化为正数，(1)当A0时，把x整体代入ysin x或ycos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间(2)当A0时，把x整体代入ysin x或ycos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入ysin x或ycos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间微提醒：求函数yA sin (x)的单调区间时，把x看作一个整体，借助ysin x的单调区间来解决当A0或0时，要注意原函数的单调性与ysin x的单调性的关
6、系基础类型二比较三角函数值的大小(逻辑推理)【典例】比较下列各组数的大小：(1)cos 与cos ；【解析】cos cos cos cos ，而cos cos ，因为函数ycos x在上单调递减，且0cos .所以cos cos ，所以cos 2，所以sin sin 2，即cos 1sin 2.【备选例题】比较下列各组数的大小：(1)cos ，sin ，cos ；【解析】因为sin cos cos 1.47，cos cos cos 1.39，又函数ycos x在0，上单调递减，所以cos 1.5cos 1.47cos 1.39.所以cos sin cos .(2)sin(cos )与cos(s
7、in ).【解析】因为0，所以0sin cos ，而0cos 1，所以sin(cos )cos ，所以sin(cos )cos(sin ). 比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)sin 220与sin 230；【解析】因为函数ysin x在90，270上单调递减，且90220230sin 230.(2)sin 与cos .【解析】sin sin sin ，cos cos cos sin .因为函数ysin x在上单调递增，而，所以sin sin .故sin cos .【加固训练
8、】比较下列各组数的大小：(1)sin 224与cos 160；【解析】sin 224sin(18044)sin 44，cos 160cos(9070)sin 70，因为函数ysin x在上单调递增，所以sin 44sin 70，所以sin 224cos 160.(2)sin 与sin .【解析】cos cos sin ，0，又因为函数ysin x在上单调递增，所以0sin sin 1，所以sin sin ，即sin sin . 综合类型正弦函数、余弦函数的值域、最值问题(逻辑推理、数学运算)yA sin (x)b(或yA cos (x)b)型(1)函数y2cos ，x的值域为_【解析】因为x，
9、所以2x，因为函数ycos x在区间上单调递减，所以cos ，所以函数的值域为1，.答案：1，(2)函数y2cos ，x的值域为_.【解析】因为x，所以2x，所以cos ，所以函数的值域为1，2.答案：1，2点拨：两小题的区别在于定义域的不同，导致整体自变量的范围不同，进而值域不同形如yA sin (x)b(或yA cos (x)b)，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin (x)(或cos (x)的范围，最后求得值域(最值).【加固训练】如果函数f(x)sin a在区间的最小值为，则a的值为()A B C D【解析】选A.因为x时，x，所以sin ，当x时，sin 有最小值等于.可得f(x
10、)sin a的最小值为a，解得a.ya sin2xb sinxc(a0)型【典例】函数f(x)2sin2x2sinx，xR的值域为_.【解析】令tsin x，因为xR，所以1sin x1，即1t1.所以f(t)2t22t21，t1，1，且该函数在上单调递减，在上单调递增所以f(t)的最小值为f1，最大值为f(1).即函数f(x)的值域为.答案：本题若变为：函数f(x)2sin2x2sinx，x，求其值域【解析】令tsin x，因为x，所以sin x1，即t1.所以f(t)2t22t21，t，且该函数在上单调递增所以f(t)的最小值为f1，最大值为f(1).即函数f(x)的值域为.形如ya si
11、n2xb sinxc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值t的范围需要根据定义域来确定微提醒：要注意换元后新元的取值范围【加固训练】求函数ycos2xsinx1(xR)的最值【解析】y1sin2xsinx1，所以函数的最大值为，最小值为1.1当x，时，函数y3sin x()A在区间，0上单调递增，在区间0，上单调递减B在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减C在区间，0上单调递减，在区间0，上单调递增D在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减【解析】选B.根据正弦函数的图象知：函数的图象在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递减所以函数在上单调递增
12、，在和上单调递减2函数ysin (1x)的图象()A关于直线x1对称 B关于点(1，0)对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【解析】选B.对于函数ysin (1x)，令x1，可得y0，故它的图象关于点(1，0)对称3下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11【解析】选C.因为sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80.所以由正弦函数的单调性，得sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.4函数f(x)3sin (x2)的最小正周期为_，值域为_【解析】由题意最小正周期T2.因为sin (x2)1，1，所以3sin (x2)3，3，故值域为3，3.答案：23，35函数f(x)cos ，x0，的单调递增区间为_【解析】令2k3x2k2，求得x，可得函数的增区间为，kZ.结合x，可得增区间为.答案：关闭Word文档返回原板块
