1、第75课矩阵的运算【自主学习】第75课 矩阵的运算(本课时对应学生用书第193195页)自主学习回归教材1. (选修4-2P83复习题1(5)改编)已知矩阵A=,矩阵B=,计算AB.【解答】AB=.2. (选修4-2P65习题6改编)已知二阶矩阵X满足X=,求二阶矩阵X. 【解答】设二阶矩阵X=,则=,所以解得所以二阶矩阵X=.3. (选修4-2P65习题6改编)已知矩阵A=,B=,满足AX=B,求矩阵X.【解答】设X=,由=,得解得所以X=.4. (选修4-2P58例6改编)已知矩阵A=,求逆矩阵A-1.【解答】因为|A|=22-1=30,所以A-1=.5. (选修4-2P57例5改编)用逆
2、矩阵知识解方程组【解答】因为所以设X=,A=,B=,则AX=B,且A-1=,所以X=A-1B=,所以1. 矩阵乘法的运算法则是=.2. 矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.注意变换的先后顺序,不能随意交换.如已知A=,B=,计算AB,BA,并判断AB与BA是否相等.AB=,BA=,所以AB与BA不相等.3. 矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.如计算:(1)X=;(2)X=.(1)【解答】X=.(2)【解答】X=.4. 对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.从几何变换的角度可以看出,逆矩阵实际上就是对应着原
3、先变换的逆变换.若B为A的逆矩阵,则A是 B的逆矩阵,并且若逆矩阵存在,则一定是唯一的.并不是所有矩阵都有逆矩阵,事实上,矩阵可逆当且仅当其对应的行列式不等于零.5. 若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1,这个结论可以推广到多个的情形,若A,B,C均可逆,则(ABC)-1=C-1B-1A-1.6. 已知A,B,C均为二阶矩阵,且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵,则B=C.【要点导学】要点导学各个击破矩阵的乘法例1设A=,B=,若AB=BA,求实数k的值.【思维引导】一般矩阵相乘都是不可交换的,能相互交换次序的矩阵必须具备特殊的形式.为解决这个问题,不妨设
4、B是与A可交换的矩阵,可将其形式设出来,利用AB=BA,求出需待定的参数.【解答】因为AB=,BA=,由AB=BA,得k=3.【精要点评】熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则是进行矩阵乘法的关键,需要指出的是,一般地,不一定有AB=BA成立.矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合,同样两个变换的复合在一般情形之下是不可以交换的.例2已知ABC的顶点坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于x轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转90.(1)分别求两次变换所对应的矩阵M1,M2;(2)求点A,C在两次连续的变换作用下所得到的点A,C所在直线的方程.【解答】(1)M1=,
5、M2=.(2)令M=M2M1=,所以M=,M=.故点A,C在两次连续的变换作用下所得到的点A,C的坐标分别是(0,-1),(1,2),所以A,C所在直线的方程是y=3x-1.变式(2014江苏模拟)已知矩阵A=,B=,若矩阵AB对应的变换把直线l:x+y-2=0变为直线l,求直线l的方程.【解答】AB=.在直线l上任取一点P(x,y),经矩阵AB对应的变换变为点Q(x,y),则=,所以即代入x+y-2=0,得x-y+-2=0,所以直线l的方程为4x+y-8=0.求逆矩阵例3(2014苏州暑假调查)已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.【思维引导】利用待定系数的方法或公式法求出矩阵A的逆矩阵,再求
6、出矩阵A-1B.【解答】设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=,b=0,c=0,d=1,从而A-1=,所以A-1B=.【精要点评】求逆矩阵常见的方法:(1)用待定系数法求逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵,AB=BA=E;(2)公式法:=ad-bc,记为det(A),有A-1=,当且仅当det(A)=ad-bc0时成立;(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵;(4)(AB)-1=B-1A-1 .变式(2015南通期末)已知矩阵M=的逆矩阵M-1=,求实数m,n的值.【解答】由MM-1=,所以解得例4(2015福建卷)已知矩阵A=,B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A-1;(2)求矩阵C,使得AC
7、=B.【解答】(1)因为|A|=23-14=2,所以A-1=.(2)由AC=B得(A-1A)C=A-1B,故C=A-1B=.解方程组例5用矩阵方法求二元一次方程组的解.【思维引导】用矩阵方法解方程组首先将方程组表示成AX=B,然后两边左,乘矩阵A的逆矩阵A-1即可求解.【解答】 已知方程组可以写成=.令M=,其行列式=31-3(-2)=90,所以M-1=,所以=M-1=.【精要点评】一般地,方程组可以表示成=,简写成AX=B,A-1AX=A-1BX=A-1B.变式(2014江苏模拟)(1)求矩阵A=的逆矩阵;(2)利用逆矩阵知识解方程组【解答】(1)设逆矩阵为A-1=,则由=,得解得所以A-1
8、=.(2)X=A-1B=,即1. 矩阵的逆矩阵为.【答案】2. 设M=,利用逆矩阵求矩阵M.【解答】由题设知的逆矩阵为,从而M=.3. 若=,求实数a,b,c,d的值.【解答】因为=,所以=,故解得a=1,b=4,c=d=1.4. (2015无锡期末)已知矩阵M=.(1)求矩阵M的逆矩阵M-1;(2)求直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程.【解答】(1)因为M=,所以M-1=.(2)设点P(x,y)是曲线y=2x上任意一点,在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x,y),则=,所以即因为点P在直线y=2x上,于是2y=2x,所以2y=x,即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下
9、的曲线方程为y=x.趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第149150页.【检测与评估】第75课矩阵的运算1求矩阵A=的逆矩阵A-12已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.3已知矩阵A的逆矩阵A-1=,求矩阵A.4已知矩阵A=,B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A-1;(2)求直线x+y-1=0在矩阵A-1B对应的变换作用下得到的直线方程.5(2015泰州二模)已知矩阵A=,矩阵B=,直线l1:x-y+4=0在矩阵A对应的变换作用下得到直线l2,直线l2又在矩阵B对应的变换作用下得到直线l3:x+y+4=0.(1)求a,b的值;(2)求直线l2的方程.6已知矩阵A=,B=,向
10、量=,x,y为实数.若A=B,求x+y的值.7(2015泰州期末)已知矩阵A=,B=,若矩阵AB-1对应的变换把直线l变为直线l:x+y-2=0,求直线l的方程.8已知矩阵A=,向量=,求向量,使得A2=.【检测与评估答案】第75课矩阵的运算1 设A-1=,则=,即=,所以解得所以A-1=.2 设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵A-1=,所以A-1B=.3 设A=,则由AA-1=E,得=,解得所以A=.4 (1)设A-1=,则=,解得a=3,b=-1,c=-2,d=1,所以A-1=.(2)A-1B=.设直线上任意一点为P(x0,y0),变换后的点为
11、P(x0,y0),则=,所以即所以x0+3y0-y0-1=0,即x0+2y0-1=0,故所求直线方程为x+2y-1=0.5 (1)BA=.设P(x,y)是l1上的任意一点,其在BA作用下对应的点为(x,y),所以=,即又(x,y)在直线l3上,所以2ax+by+4=0,即为直线l1:x-y+4=0,所以a=,b=-1(2)由(1)知B=,同理可得直线l2的方程为2y-x+4=0,即x-2y-4=0.6 由已知得A=,B=.因为A=B,所以=,故解得所以x+y=.7 因为B=,所以B-1=,所以AB-1=.设直线l上任意一点(x,y)在矩阵AB-1对应的变换下为点(x,y),所以=,所以代入l中得直线l的方程为(x-2y)+2y-2=0,即x=28 方法一:首先A2=.设=,则=,即解得所以=.方法二:首先A2=.由A2(A2)-1=E,得(A2)-1=,所以=(A2)-1=.