1、第75课矩阵的运算【自主学习】第75课 矩阵的运算(本课时对应学生用书第193195页)自主学习回归教材1. (选修4-2P83复习题1(5)改编)已知矩阵A=，矩阵B=，计算AB.【解答】AB=.2. (选修4-2P65习题6改编)已知二阶矩阵X满足X=，求二阶矩阵X. 【解答】设二阶矩阵X=，则=，所以解得所以二阶矩阵X=.3. (选修4-2P65习题6改编)已知矩阵A=，B=，满足AX=B，求矩阵X.【解答】设X=，由=，得解得所以X=.4. (选修4-2P58例6改编)已知矩阵A=，求逆矩阵A-1.【解答】因为|A|=22-1=30，所以A-1=.5. (选修4-2P57例5改编)用逆
2、矩阵知识解方程组【解答】因为所以设X=，A=，B=，则AX=B，且A-1=，所以X=A-1B=，所以1. 矩阵乘法的运算法则是=.2. 矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.注意变换的先后顺序，不能随意交换.如已知A=，B=，计算AB，BA，并判断AB与BA是否相等.AB=，BA=，所以AB与BA不相等.3. 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律.如计算：(1)X=；(2)X=.(1)【解答】X=.(2)【解答】X=.4. 对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.从几何变换的角度可以看出，逆矩阵实际上就是对应着原
3、先变换的逆变换.若B为A的逆矩阵，则A是 B的逆矩阵，并且若逆矩阵存在，则一定是唯一的.并不是所有矩阵都有逆矩阵，事实上，矩阵可逆当且仅当其对应的行列式不等于零.5. 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1，这个结论可以推广到多个的情形，若A，B，C均可逆，则(ABC)-1=C-1B-1A-1.6. 已知A，B，C均为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C.【要点导学】要点导学各个击破矩阵的乘法例1设A=，B=，若AB=BA，求实数k的值.【思维引导】一般矩阵相乘都是不可交换的，能相互交换次序的矩阵必须具备特殊的形式.为解决这个问题，不妨设
4、B是与A可交换的矩阵，可将其形式设出来，利用AB=BA，求出需待定的参数.【解答】因为AB=，BA=，由AB=BA，得k=3.【精要点评】熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则是进行矩阵乘法的关键，需要指出的是，一般地，不一定有AB=BA成立.矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，同样两个变换的复合在一般情形之下是不可以交换的.例2已知ABC的顶点坐标分别为A(-1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90.(1)分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；(2)求点A，C在两次连续的变换作用下所得到的点A，C所在直线的方程.【解答】(1)M1=，
5、M2=.(2)令M=M2M1=，所以M=，M=.故点A，C在两次连续的变换作用下所得到的点A，C的坐标分别是(0，-1)，(1，2)，所以A，C所在直线的方程是y=3x-1.变式(2014江苏模拟)已知矩阵A=，B=，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y-2=0变为直线l，求直线l的方程.【解答】AB=.在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵AB对应的变换变为点Q(x，y)，则=，所以即代入x+y-2=0，得x-y+-2=0，所以直线l的方程为4x+y-8=0.求逆矩阵例3(2014苏州暑假调查)已知矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.【思维引导】利用待定系数的方法或公式法求出矩阵A的逆矩阵，再求
6、出矩阵A-1B.【解答】设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=，b=0，c=0，d=1，从而A-1=，所以A-1B=.【精要点评】求逆矩阵常见的方法：(1)用待定系数法求逆矩阵：设A是一个二阶可逆矩阵，AB=BA=E；(2)公式法：=ad-bc，记为det(A)，有A-1=，当且仅当det(A)=ad-bc0时成立；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵；(4)(AB)-1=B-1A-1 .变式(2015南通期末)已知矩阵M=的逆矩阵M-1=，求实数m，n的值.【解答】由MM-1=，所以解得例4(2015福建卷)已知矩阵A=，B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A-1；(2)求矩阵C，使得AC
7、=B.【解答】(1)因为|A|=23-14=2，所以A-1=.(2)由AC=B得(A-1A)C=A-1B，故C=A-1B=.解方程组例5用矩阵方法求二元一次方程组的解.【思维引导】用矩阵方法解方程组首先将方程组表示成AX=B，然后两边左，乘矩阵A的逆矩阵A-1即可求解.【解答】 已知方程组可以写成=.令M=，其行列式=31-3(-2)=90，所以M-1=，所以=M-1=.【精要点评】一般地，方程组可以表示成=，简写成AX=B，A-1AX=A-1BX=A-1B.变式(2014江苏模拟)(1)求矩阵A=的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组【解答】(1)设逆矩阵为A-1=，则由=，得解得所以A-1
8、=.(2)X=A-1B=，即1. 矩阵的逆矩阵为.【答案】2. 设M=，利用逆矩阵求矩阵M.【解答】由题设知的逆矩阵为，从而M=.3. 若=，求实数a，b，c，d的值.【解答】因为=，所以=，故解得a=1，b=4，c=d=1.4. (2015无锡期末)已知矩阵M=.(1)求矩阵M的逆矩阵M-1；(2)求直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程.【解答】(1)因为M=，所以M-1=.(2)设点P(x，y)是曲线y=2x上任意一点，在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x，y)，则=，所以即因为点P在直线y=2x上，于是2y=2x，所以2y=x，即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下
9、的曲线方程为y=x.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第149150页.【检测与评估】第75课矩阵的运算1求矩阵A=的逆矩阵A-12已知矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.3已知矩阵A的逆矩阵A-1=，求矩阵A.4已知矩阵A=，B=.(1)求矩阵A的逆矩阵A-1；(2)求直线x+y-1=0在矩阵A-1B对应的变换作用下得到的直线方程.5(2015泰州二模)已知矩阵A=，矩阵B=，直线l1：x-y+4=0在矩阵A对应的变换作用下得到直线l2，直线l2又在矩阵B对应的变换作用下得到直线l3：x+y+4=0.(1)求a，b的值；(2)求直线l2的方程.6已知矩阵A=，B=，向
10、量=，x，y为实数.若A=B，求x+y的值.7(2015泰州期末)已知矩阵A=，B=，若矩阵AB-1对应的变换把直线l变为直线l：x+y-2=0，求直线l的方程.8已知矩阵A=，向量=，求向量，使得A2=.【检测与评估答案】第75课矩阵的运算1 设A-1=，则=，即=，所以解得所以A-1=.2 设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=-1，b=0，c=0，d=，从而A的逆矩阵A-1=，所以A-1B=.3 设A=，则由AA-1=E，得=，解得所以A=.4 (1)设A-1=，则=，解得a=3，b=-1，c=-2，d=1，所以A-1=.(2)A-1B=.设直线上任意一点为P(x0，y0)，变换后的点为
11、P(x0，y0)，则=，所以即所以x0+3y0-y0-1=0，即x0+2y0-1=0，故所求直线方程为x+2y-1=0.5 (1)BA=.设P(x，y)是l1上的任意一点，其在BA作用下对应的点为(x，y)，所以=，即又(x，y)在直线l3上，所以2ax+by+4=0，即为直线l1：x-y+4=0，所以a=，b=-1(2)由(1)知B=，同理可得直线l2的方程为2y-x+4=0，即x-2y-4=0.6 由已知得A=，B=.因为A=B，所以=，故解得所以x+y=.7 因为B=，所以B-1=，所以AB-1=.设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB-1对应的变换下为点(x，y)，所以=，所以代入l中得直线l的方程为(x-2y)+2y-2=0，即x=28 方法一：首先A2=.设=，则=，即解得所以=.方法二：首先A2=.由A2(A2)-1=E，得(A2)-1=，所以=(A2)-1=.