1、2014-2015学年广东省江门市台山市华侨中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，四个选项中只有一项符合题意1若集合A=x|2x1，B=x|0x2，则集合AB=( )A x|1x1B x|2x1C x|2x2D x|0x12已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18a5，则S8=( )A72B68C54D903在ABC中，若A=60，BC=4，AC=4，则角B的大小为( )A30B45C135D45或1354已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为( )A1BC1或D1或5设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则
2、当Sn取最小值时，n等于( )A6B7C8D96在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形7设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=( )A3B1C1D38在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=( )A30B60C120D1509设数列an的前n项和为Sn，且，则S2013=( )A1B0C1D210已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项
3、和为( )A或5B或5CD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11若ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_12若数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1，nN），则数列an的通项公式an=_13已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_14在小于100的正整数中共有_个数被7整除余2，这些数的和为_三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15已知（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值16ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c
4、，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值17（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=4an3（nN*）（）证明：数列an是等比数列；（）若数列bn满足bn+1=an+bn（nN*），且b1=2，求数列bn的通项公式18（14分）已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和（1）求通项an及Sn；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn19（14分）已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn=3an3（I）求数列an的通项公式；（）设数列bn的通项公式是bn=，前n项和为Tn，求证：对于任意的n
5、N*总有Tn120（14分）在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）2014-2015学年广东省江门市台山市华侨中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，四个选项中只有一项符合题意1若集合A=x|2x1，B=x|0x2，则集合AB
6、=( )A x|1x1B x|2x1C x|2x2D x|0x1考点：交集及其运算 专题：集合分析：找出A与B解集的公共部分，即可确定出两集合的交集解答：解：A=x|2x1，B=x|0x2，AB=x|0x1故选：D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18a5，则S8=( )A72B68C54D90考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：根据已知中a4=18a5，我们易得a4+a5=18，根据等差数列前n项和公式，我们易得S8=4（a1+a8），结合等差数列的性质“p+q=m+n时，ap+aq=am+an”即可得到答案解答：解
7、：在等差数列an中，a4=18a5，a4+a5=18，则S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=72故选：A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中利用p+q=m+n时，ap+aq=am+an，是解答本题的关键3在ABC中，若A=60，BC=4，AC=4，则角B的大小为( )A30B45C135D45或135考点：正弦定理的应用 专题：计算题分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案解答：解：由正弦定理得，B=45或135ACBC，B=45，故选B点评：本题主要考查了正弦定理的应用属基础题正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握4
8、已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为( )A1BC1或D1或考点：函数的值；对数的运算性质 专题：计算题分析：本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x0时的a值，然后再计算当x0时的a值，最后综合即可解答：解：当x0时，log2x=，x=；当x0时，2x=，x=1则实数a的值为：1或，故选C点评：分段函数求值问题分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，属于基础题5设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于( )A6B7C8D9考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：条件已提供了首项，故用“
9、a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力6在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理 专题：计算题分析：根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全
10、等得到三角形ABC为等腰三角形解答：解：过A作ADBC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，ADB=ADC=90，BD=CD得到三角形ABD三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形故选C点评：考查学生利用三角函数解直角三角形的能力掌握用全等来证明线段相等的方法7设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）=( )A3B1C1D3考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用
11、函数为奇函数，求出f（1）解答：解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+20+b=0，解得b=1，所以当x0时，f（x）=2x+2x1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（1）=f（1）=（21+211）=3，故选D点评：解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系8在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=( )A30B60C120D150考点：余弦定理的应用 专题：综合题分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A解答：解：sinC=2sinB，c=2b，a2
12、b2=bc，cosA=A是三角形的内角A=30故选A点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题9设数列an的前n项和为Sn，且，则S2013=( )A1B0C1D2考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由三角函数求值和数列的周期性可得解答：解：数列an的前n项和为Sn，且，数列为周期为T=4的周期数列，由三角函数计算可得a1+a2+a3+a4=01+0+1=0，S2013=503（a1+a2+a3+a4）+a1=0，故选：B点评：本题考查数列的周期性和三角函数求值，属基础题10已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列
13、的前5项和为( )A或5B或5CD考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和解答：解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和故选：C点评：本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11若ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，si
14、nC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可解答：解：ABC的面积为，BC=a=2，C=60，absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=4+44=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键12若数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1，nN），则数列an的通项公式an=2n+1考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：an+1=2an1（n1，nN*），变形为：an+11=2（an1），利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：an+1=2an1（n1，nN*），变形为：an+11=2
15、（an1），数列an1是等比数列，首项为2，公比为2an1=2n，an=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题13已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为15考点：余弦定理；数列的应用；正弦定理 专题：综合题；压轴题分析：因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x4，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积解答：解：设三角形的三
16、边分别为x4，x，x+4，则cos120=，化简得：x16=4x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S=610sin120=15故答案为：15点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题14在小于100的正整数中共有14个数被7整除余2，这些数的和为665考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：找出被7整除余2的最小项，由等差数列的通项公式求出项数，利用前n项和公式求和解答：解：最小是2由（1002）7=14最大是713+2=93共14个这14个符合条件的数，构成一个公差为7的等差数列和为点评：本
17、题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15已知（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，直接求函数f（x）的最小正周期；（2）结合正弦函数的最值，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值解答：解：=2sin（x+）（1）函数f（x）的最小正周期：T=2（2）函数f（x）=2sin（x+）2，所以函数的最大值为：2；此时x+=2k，kZ，即x=，kZ点评：本
18、题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，最值的求法等基本知识，考查计算能力16ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数量积由余弦定理a2=b2+
19、c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值解答：解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156=144（）a2=b2+c22bccosA=（cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=5点评：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力17（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=4an3（nN*）（）证明：数列an是等比数列；（）若数列bn满足bn+1=an+bn（nN*），且b1=2，求数列bn的通项公式考点：数列递推式；等比关系的确定 专题：计算题分
20、析：（）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n2时，an=SnSn1，求出数列an的递推关系式，再求，得道常数，即可证明（）先根据（）求数列an的递推公式，代入bn+1=an+bn（nN*），可得数列bn的递推公式，再用迭代法，即可求出数列bn的通项公式解答：解：（）证明：由Sn=4an3，n=1时，a1=4a13，解得a1=1因为Sn=4an3，则Sn1=4an13（n2），所以当n2时，an=SnSn1=4an4an1，整理得又a1=10，所以an是首项为1，公比为的等比数列（）解：因为，由bn+1=an+bn（nN*），得可得bn=b1+（b2b1）+（
21、b3b2）+（bnbn1）=，（n2）当n=1时上式也满足条件所以数列bn的通项公式为点评：本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式18（14分）已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和（1）求通项an及Sn；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）由题意可得：an=1+2（n1）=2n1，Sn=n2（2）=3n1，bn=（
22、2n1）3n1，Tn=1+33+532+（2n1）3n1，3Tn=3+332+（2n3）3n1+（2n1）3n，2Tn=1+2（3+32+3n1）（2n1）3n=（2n1）3n=（22n）3n2，Tn=（n1）3n+1点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn=3an3（I）求数列an的通项公式；（）设数列bn的通项公式是bn=，前n项和为Tn，求证：对于任意的nN*总有Tn1考点：数列的应用；数列的求和；数列递推式 专题：计算题
23、；证明题分析：（I）由已知得，故2（SnSn1）=2an=3an3an1由此可求出an=3n（nN*）（），所以Tn=b1+b2+bn=1解答：解：（I）由已知得故2（SnSn1）=2an=3an3an1即an=3an1，n2故数列an为等比数列，且q=3又当n=1时，2a1=3a13，a1=3，an=3n，n2而a1=3亦适合上式an=3n（nN*）（）所以Tn=b1+b2+bn=1点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算20（14分）在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以
24、n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；解三角形分析：在ABC中，CAB=120由余弦定理可求得线段BC的长度；在ABC中，由正弦定理，可求得sinACB；设缉私船用t h在D处追上走私船，CD=10t，BD=10t，在ABC中，可求得CBD=120，再在BCD中，由正弦定理可求得sinBCD，从而可求得缉私艇行驶方向，在BCD中易判断BD=BC，由t=即可得到追缉时间
25、解答：解：在ABC中，CAB=45+75=120，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22ABACcosCAB=+2222（）=6，所以，BC=在ABC中，由正弦定理，得=，所以，sinACB=又0ACB60，ACB=15设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，则有CD=10t，BD=10t又CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD=BCD=30，又因为ACB=15，所以1800（BCD+ACB+75）=180（30+15+75）=60，即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船在BCD中，BCD=30，CBD=90+30=120，CDB=30，BD=BC=，则t=，即缉私艇最快追上走私船所需时间h点评：本题考查余弦定理与正弦定理在解决实际问题中的应用，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题
