1、专题二 三角函数与平面向量第 3 讲 平面向量热点 1 平面向量的有关运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量3平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数，使 ba.(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是
2、一组基底例 1(1)(2016全国卷)设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_(2)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_解析：(1)由|ab|2|a|2|b|2，得 ab，所以 abm1120，得 m2.(2)DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(AC AB)16AB 23AC，因为DE 1AB 2AC，所以 116，223，因此 1212.答案：(1)2(2)12规律方法1(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理
3、的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练(1)(2017山东卷)已知向量 a(2，6)，b(1，)，若 ab，则 _(2)(2017北京海淀期末)如图，在正方形 ABCD 中，E为 DC 的中点，若AE AB AC，则 的值为()A.12 B12C1 D1解析：(1)因为 ab，所以 260，解得 3，当 3 时，b(1，3)，a2b，所以 ab成立(2)因为 E 为 BC 的中点，所以AC AB AD 12AB 12AB AD 12AB AE，即A
4、E 12AB AC，所以 12，1，所以 12.答案：(1)3(2)A热点 2 平面向量的数量积(多维探究)1数量积的定义ab|a|b|cos.2平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.3平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.命题视角 1
5、 平面向量数量积的运算例 21(1)(2017天津卷)在ABC 中，A60，AB3，AC2，若BD 2DC，AE AC AB(R)，且AD AE 4，则 的值为_(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_解析：(1)AB AC 32cos 603，AD 13AB 23AC，则AD AE 13AB 23AC(AC AB)23 AB AC 13AB2 23 AC2 23 3133223 22113 5.因此113 54，解得 311.(2)法一 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0
6、，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DE DC(t，1)(1，0)t1，故DE DC 的最大值为 1.法二 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在CB 方向上的投影都是 CB1，所以DE CB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大，即为 DC1，所以(DE DC)max|DC|11.答案：(1)311(2)1 1规律方法1求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2(1)要有“基底”意识
7、，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180三种特殊情形变式训练(2017浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 与 BD交于点 O，记 I1OA OB，I2OB OC，I3OC OD，则()AI1I2I3 BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3解析：由题干图易得BOC90，AOBDOC90.故 I2OB OC 0.由|OD|OC|OA|OB|(因为|OA|OC|，|OB|OD|)得|OD|OC|cos DOC|OA|OB|cos AOB0，即I3I1.故 I3I1I2.答案：C命题视角 2 平面向量数量积的
8、性质例 22(1)(2016山东卷)已知非零向量 m，n 满足4|m|3|n|，cosm，n13，若 n(tmn)，则实数 t的值为()A4 B4 C.94 D94(2)(2017佛山质检)平面向量 a，b 满足|a|4，|b|2，ab 在 a 上的投影为 5，则|a2b|的模为()A2 B4 C8 D16解析：(1)因为n(tmn)，所以n(tmn)0，即tmnn20，所以 t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得 t34|n|213|n|20，解得 t4.(2)|ab|cos(ab)，a|ab|（ab）a|ab|a|a2ab|a|16ab45；所以 ab4.又(a2b)2a24ab4b
9、216161616.所以|a2b|4.答案：(1)B(2)B规律方法1两向量的夹角 cos ab|a|b|，要注意 0，2两向量垂直的应用，两非零向量垂直的充要条件是 abab0|ab|ab|.3利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 变式训练(1)(2017汉中模拟)已知向量 a(2，4)，b(3，x)，c(1，1)，若(2ab)c，则|b|()A9 B3C.109D3 10(2)(2017郴州二模)已知 a，b 均为单位向量，且(2ab)(a2b)3 32，则向量 a，b 的夹角为_解析：(1)向量 a(2，4)，b(3，x)，c(1，1)，所以 2ab(1
10、，x8)，由(2ab)c，可得 18x0，解得 x9.则|b|（3）2923 10.(2)设单位向量 a，b 的夹角为，则|a|b|1，abcos.因为(2ab)(a2b)3 32，所以 2|a|22|b|23ab3cos 3 32，所以 cos 32，因为 0，所以 6.答案：(1)D(2)6热点 3 平面向量与三角函数的综合问题平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重性”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件例 3(2017郑州质检)已知向量 m(2sin x，cos2 xsin2 x)，n(3cos x，1)，其中 0，xR.若函数 f(x)
11、mn 的最小正周期为.(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BA BC 的值解：(1)f(x)mn2 3sin xcos xcos2xsin2x 3sin 2xcos 2x2sin2x6.因为 f(x)的最小正周期为，所以 T 22|.因为 0，所以 1.(2)设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.因为 f(B)2，所以 2sin2B6 2，则 sin2B6 1，解得 B23(B(0，)因为 BC 3，所以 a 3，因为 sin B 3sin A，所以 b 3a，所以 b3.由正弦定理，有3sin A3sin 23，解得 s
12、in A12.因为 0A3，所以 A6.所以 C6，所以 ca 3.所以BA BCcacos B 3 3cos 23 32.规律方法1破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行“巧化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”2这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解 变式训练(2017山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b3，AB AC 6，SABC3，求 A 和 a.解：因为AB AC 6，所以 bccos A6.又因为 SABC3，所以 bcsin A6.因此 tan A1.又 0A，所以 A34.又因为 b3，所以 c2 2.由余弦定理 a2b2c22bcos A，得 a298232 2 22 29，所以 a 29.