1、专题二 三角函数与平面向量第 2 讲 三角恒等变换与解三角形【命题透视】三角函数的化简与求值是命题的热点，其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式，同角三角函数的关系是恒等变换的依据正弦定理、余弦定理是高考的重点内容，主要考查边和角、面积的计算、三角形形状的判定高考命题中，选择、填空及解答题均可能呈现，不超过中等难度热点 1 三角恒等变换及求值1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin.(2)cos()cos cos sin sin.(3)tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.(2)
2、cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2 2tan 1tan2.3辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan ba.例 1(1)(2016全国卷)已知 是第四象限角，且sin4 35，则 tan4 _(2)如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为1213，513，AOC.若|BC|1，则 3cos22sin 2cos 2 32 的值为_解析：(1)由题意，得 cos4 45.所以 tan4 tan42 sin42cos42cos4sin443.(2)由题意得|OC|O
3、B|BC|1，从而OBC 为等边三角形，所以 sin AOBsin3 513，又因为 3cos22sin 2cos 2 32 31cos 2sin 2 32 12sin 32 cos sin3 513.答案：(1)43(2)513规律方法1三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值 2解决条件求值问题的三个关注点：(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小热点 2 正弦定理与余弦定理(多
4、维探究)1正弦定理及其变形在ABC 中，asin A bsin B csin C2R(其中 R 是外接圆的半径)变形：a2Rsin A，sin A a2R，abcsin Asin Bsin C 等2余弦定理及其变形在ABC 中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.3三角形的面积公式S12absin C12acsin B12bcsin A.变式训练 在锐角ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，且 3a2csin A.(1)求角 C 的大小(2)若 c 7，且ABC 的面积为3 32，求 ab 的值解：(1)由正弦定理及 3a
5、2csin A，得 3sin A2sin Csin A，因为 A，C 是锐角，所以 sin C 32，所以 C60.(2)由已知得，ABC 的面积 S12absin C3 32，所以 ab6.由余弦定理得 c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以(ab)225，所以 ab5.变式训练(2017西安质检)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45
6、.又 AB600 m，由正弦定理，得 600sin 45 BCsin 30.解得 BC300 2.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)答案：100 6热点 3 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的交汇是高考的热点，主要借助三角变换研究三角形边角关系及面积计算，常以解答题的形式出现，中档程度例 3(2017长沙质检)已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，xR(1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c 3，f(C)0，sin B2sin A，求 a，b 的值解
7、：(1)f(x)3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2x22sin2x6 2，所以函数 f(x)的最小正周期 T22，最小值为4.(2)因为 f(C)2sin2C6 20，所以 sin2C6 1，由 C(0，)，知62C6116，所以 2C62，得 C3.因为 sin B2sin A，由正弦定理得 b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又 c 3，所以 a1，b2.规律方法1解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定
8、理 2求解该类问题，易忽视 C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解 变式训练 设 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA2 0，a1，求ABC 面积的最大值解：(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22 sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ，可得4kx4k，kZ.由22k2x32 2k，kZ，可得4kx34 k，kZ.所 以 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是4k，4k(kZ)，单调递减区间是4k，34 k(kZ)(2)由 fA2 sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，且当 bc 时等号成立 因此12bcsin A2 34.所以ABC 面积的最大值为2 34.
