1、专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC (1t)OA tOB 的证明：若OA a，OB b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC c，存在一对实数，使 cab.证明 A、B、C 三点共线的充要条件是 1.证明：（必要性）若 A，B，C 三点共线，则存在实数 t，使得ACtAB，即OC OA t(OB OA)所以OC (1t)OA tOB 令 1t，t，则有 catb，即 1.（充分性）若 1，则 ca(1)b即 cb(ab)即OC OB(OA OB)即BCBA.所以 A、B、C 三点共线(思考：当 t=21 时，会发现 A,B,C 是什么情况？)典型例题：例 1：
2、（全国高考）设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43AC B.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC 例 2：已知平面内的三点 A，B，O 不共线，且APOA OB，则 A，P，B 三点共线的一个必要不充分条件是()AB|CD1 例 3：如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若AM ABAC，则 _.例 4：如图，在ABC 中，点 O 是 BC 边的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M,N，若NnACAMmABA,则 m+n 的值为_ 练习：1、已知等
3、差数列an的前 n 项和为 Sn，若 3OA a5OB a9OC，且 A，B，C 三点共线，则S13_2、2021江苏卷，10设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_ 3、（2021 华美）在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN12NC，P 是 BN 上一点，若APmAB29AC，则实数 m 的值为 4、(2021郑州质检)如图，在ABC 中，N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 P 在 BN 上且 A P 112mAB 211B C，则实数 m 的值为_.5、（2021 华美）A，
4、B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点 O 与点 D不重合)，若OC OA OB(，R)，则 的取值范围是_.专题：利用三点共线结论解平面向量例 1：解析 由BC3CD 知，B、C、D 三点共线，从四个选项知系数和为 1 的仅有 A，故选 A.例 2：解析 A，P，B 三点共线，即存在一个实数 m，使得APmAB，APOA OB，mABOA OB，即 m(OB OA)OA OB，(m)OB(m)OA，A，B，O 三点不共线，m0，m0，即 m，A，B，P 三点共线的充要条件为，结合各选项知 A，B，P 三点共线的一个必要不充分条件为|.故选 B.例 3：解析
5、由于 B，H，C 三点共线，可令AH xAB(1x)AC，又 M 是 AH 的中点，所以AM 12AH 12xAB12(1x)AC.又AM ABAC，所以 12x12(1x)12.例 4：解析 解法一：AO 12(ABAC)m2AM n2AN.M，O，N 三点共线，m2n21.mn2.解法二：MN 绕 O 旋转，当 N 与 C 重合时，M 与 B 重合，此时 mn1，mn2.练习：1、解析 由 3OA a5OB a9OC，得OA a53 OB a93 OC 因为 A，B，C 三点共线，所以a53 a93 1，即 a5a93，所以 S1313（a1a13）213（a5a9）2392.所以 S13
6、3922、解析 DE DB BE12AB23BC 12AB23(AC AB)16AB23AC，DE 1AB2AC，116，223，故 1212.（提示，过 A 作 DE 平行线交 BC 延长线于点 F,利用B,C,F 共线）3、答案 1/3 4、解析 设BPBN(ANAB)13 ACAB AB3 AC(01)，A P ABB P(1)AB3AC.又A P m 211 AB 211 BCm 211 AB 211(ACAB)mAB 211AC，3 211，m1，解得 611，m 511，m 511.5、【答案】(1，)设OC mOD，则 m1，因为OC OA OB，所以 mOD OA OB，即OD mOA mOB，又知 A，B，D 三点共线，所以mm1，即 m，所以 1
