1、第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=x+1+12-x的定义域为()A.-1,2)(2,+)B.(-1,+)C.-1,2)D.-1,+)2.函数y=x53的图象大致是()3.已知f12x-1=2x-5,且f(a)=6,则a=()A.-74B.74C.43D.-434.(2021湖北高一开学考试)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当xb,则函数f(x)=x2|x|的图象是()8.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2(-,0(x1x2),有(x2-x1)f(x2)-f(x1)
2、0.则当nN+时,有()A.f(-n)f(n-1)f(n+1)B.f(n-1)f(-n)f(n+1)C.f(n+1)f(-n)f(n-1)D.f(n+1)f(n-1)f(-n)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x10.若xR,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)()A.无最大值B.最大值为1C.无最小值D.最小值为-111.已知函数f
3、(x)=x2-x4|x-1|-1,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域为-1,0)(0,1B.f(x)的值域为(-1,1)C.f(x)在定义域上是增函数D.f(x)的图象关于原点对称12.已知定义在R上的函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且对于y=f(x),当x1,x2(-,0,且x1x2时,有f(x2)-f(x1)x2-x10恒成立.若f(2ax)f(2x2+1)对任意的xR恒成立,则实数a的取值可以是下面选项中的()A.1B.-2C.0D.2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数f(x)=3x,x0,x-1,x0,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于.
4、14.已知函数y=f(x)+x3为偶函数,且f(10)=16,若函数g(x)=f(x)+6,则g(-10)=.15.定义maxa,b=a(ab),b(ab),则maxx2+x-1,|x-2|的最小值为.16.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1t20,tN,单位:天)之间的函数关系式为r=14t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t.(1)第4天的销售总利润为元;(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(mN+)元给某学校.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的
5、增大而增大,则m的最小值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,直线MNAD于点M,交折线ABC于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.18.(12分)已知函数f(x)=x2+ax,且f(1)=2.(1)求证函数f(x)是奇函数;(2)求证函数f(x)在(1,+)上单调递增;(3)求函数f(x)在2,5上的最大值和最小值.19.(12分)(2021山东青岛期中)已知奇函数f(x)=ax+bx2+1是定义在区间-1,1上的增函数,且f
6、12=25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求不等式f(x-1)f(-x)的解集.20.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的减函数,求a的取值范围;若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立,求实数t的取值范围.21.(12分)某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,设甲城市的投入
7、为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时该公司的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?22.(12分)已知一元二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值74.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间0,1上的最小值,其中tR;(3)在区间-1,3上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.第二章测评1.A由x+10,2-x0,解得x-1,且x2.2.B函数y=x53=3x5的定义域为R,是奇函
8、数,排除AC;函数y在第一象限内单调递增,且增长越来越快,在第一象限图象下凸,故选B.3.B令12x-1=t,则x=2t+2,所以f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,所以f(x)=4x-1.由f(a)=4a-1=6,解得a=74.4.Af(x)是R上的奇函数,f(-1)=-f(1)=2,即1-m+2=2,m=1.f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,f(2)=-f(-2)=-4.故选A.5.C对于选项A和D,由于幂函数的图象过第一象限,且是减函数,故a1,与一次函数的图象不相符,故错误;对于选项C,由于幂函数图象过第一、二象限,且是偶函数,a0,与一次函数的图象相符,故正确.6.D不超
9、过230度的部分费用为2300.5=115;超过230度但不超过400度的部分费用为(400-230)0.6=102,115+102b,得f(x)=x2|x|=x2,x1.由此可得图象如图所示.8.C由(x2-x1)f(x2)-f(x1)0得f(x)在区间(-,0上为增函数.又f(x)为偶函数,所以f(x)在区间0,+)上为减函数.因为0n-1nn+1,所以f(n+1)f(n)f(n-1),又f(-n)=f(n),故f(n+1)f(-n)f(n-1).故选C.9.ABD在A中,f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2|x|,满足f(2x)=2f(x);在B中,f(2x)=2x-|2x|=
10、2(x-|x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);在C中,f(2x)=2x+1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x);在D中,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)=2f(x).10.BC在同一平面直角坐标系中作出函数y=2-x2,y=x的图象如图所示,根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象.当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=1,由图象知f(x)无最小值.11.ABD对于A,由x2-x40,|x-1|-10,解得-1x1且x0,可得函数f(x)=x2-x4|x-1|-1的定义域为-1,0)(0,1,故A正确;对于B,
11、由A可得f(x)=x2-x4-x,即f(x)=|x|1-x2-x,当0x1时,f(x)=-1-x2(-1,0,当-1x0时,f(x)=1-x20,1),可得函数f(x)的值域为(-1,1),故B正确;对于C,由f(-1)=f(1)=0,则f(x)不是定义域上的增函数,故C错误;对于D,由f(x)=|x|1-x2-x的定义域为-1,0)(0,1,关于原点对称,又f(-x)=|x|1-x2x=-f(x),故f(x)为奇函数,故D正确.12.ACf(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,又当x1,x2(-,0,且x1x2时,有f(x2)-f(x1)x2-x10恒成立,f(x)在区间(-,0上单
12、调递减,则f(x)在区间(0,+)上单调递增.f(2ax)f(2x2+1),|2ax|2x2+1|,即4a2x20恒成立.令t=x2(t0),4t2+(4-4a2)t+10在区间0,+)恒成立,令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,当t=a2-120,即-1a1时,f(t)在区间0,+)上单调递增,f(t)minf(0)=10符合题意;当t=a2-120,即a1时,应满足(4-4a2)2-160,解得-2a2,且a0,此时a的取值范围为-2a-1或1a2,综上可知,a的取值范围为a|-2a2,故AC符合题意.13.-2因为f(1)=3,所以f(a)=-3,因此a0,3a=-3或a0,mN+
13、,解得m5,即m的最小值为5.17.解当点N在BC上时,y=(2a-x)a(ax2a);当点N在AB上时,y=3a2212x2(0xa).综上,y=32a2-12x2(0xa),2a2-ax(ax11,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2,因为x2x11,所以x1x21,可得01x1x20且x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在(1,+)上单调递增.(3)解由(2)知,f(x)在2,5上单调递增,所以f(x)的最大值为f(5)=265,最小值为f(2)=52.19.解(1)f(x)=ax+bx
14、2+1是定义在区间-1,1上的奇函数,则f(0)=0+b0+1=0,解得b=0.又f12=25,则12a122+1=25,解得a=1.所以f(x)=xx2+1,经检验,函数f(x)=xx2+1为奇函数,故f(x)=xx2+1.(2)因为不等式f(x-1)f(-x),且f(x)是定义在区间-1,1上的增函数,所以-1x-11,-1-x1,x-1-x,解得0x12,所以不等式的解集为0,12.20.解(1)当x0,又f(x)为奇函数,且a=-2,f(x)=-f(-x)=x2-2x,f(x)=x2-2x,x0,在区间(0,+)上f(x)0时,f(x)在区间0,a2上单调递增,在区间a2,+上单调递减
15、,不合题意.若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围为(-,0.f(m-1)+f(m2+t)0,f(m-1)-f(m2+t).又f(x)是奇函数,f(m-1)-t-m2对于任意实数m恒成立,t-m2-m+1=-m+122+54恒成立,t54,+.21.解(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=3250-6+1470+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+32x+26,依题意得x40,120-x40,解得40x80.故f(x)=-14x+32
16、x+26(40x80).令t=x,则t210,45,所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+44.当t=62,即x=72万元时,y的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.22.解(1)由题意知一元二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=32,最小值为74,可设f(x)=ax-322+74(a0).因为f(x)的图象过点(0,4),所以a0-322+74=4,解得a=1,所以f(x)=x-322+74=x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图象的对称轴为直线x=t.当t0时,函数h(x)在区间0,1上单调递增,所以h(x)的最小值为h(0)=4;当0t1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t1时,函数h(x)在区间0,1上单调递减,所以h(x)的最小值为h(1)=5-2t.所以h(x)min=4,t0,4-t2,0t2x+m在区间-1,3上恒成立,所以mx2-5x+4在区间-1,3上恒成立,所以m(x2-5x+4)min(x-1,3).令g(x)=x2-5x+4,因为g(x)=x2-5x+4在区间-1,3上的最小值为-94,所以m-94,故实数m的取值范围为-,-94.
