1、2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 1函数的奇偶性 奇偶性00 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是偶函数 关于_对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是奇函数 关于_对称 f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周
2、期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 f(xT)f(x)存在一个最小【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称()(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g
3、(x)是偶函数()(6)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2015福建)下列函数为奇函数的是()Ay x By|sin x|Cycos xDyexex【答案】D【解析】对于 D，f(x)exex 的定义域为 R，f(x)exexf(x)，故 yexex 为奇函数 而 y x的定义域为x|x0，不具有对称性，故 y x为非奇非偶函数y|sin x|和 ycos x 为偶函数故选 D.2已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)等于()A2 B0C1 D2【解析】f(1)f(1)(11)2.【
4、答案】A 3(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcab CacbDcba【解析】由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，所以f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故选B.【答案】B【答案】1 4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _【解析
5、】函数的周期是 2，所以 f32 f322 f12，根据题意得 f12 412221.5(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_【解析】当x0时，则x0，f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)【答案】x(1x)题型一 判断函数的奇偶性【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1)1x1x；(3)f(x)x2x，x0，x2x，x0.【解析】(1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，函数为奇函数(2)由1x1x0
6、 可得函数的定义域为(1，1 函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x)函数为奇函数【方法规律】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 跟踪训练1(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
7、则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性是()AF(x)是奇函数，G(x)是奇函数 BF(x)是偶函数，G(x)是奇函数 CF(x)是偶函数，G(x)是偶函数 DF(x)是奇函数，G(x)是偶函数【解析】(1)易知f(x)|g(x)|定义域为R，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|为奇函数(
8、2)F(x)，G(x)定义域均为(2，2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶函数，G(x)是奇函数【答案】(1)C(2)B 题型二 函数的周期性【例 2】(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 017)等于_(2)(2016江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，f(x)xa，1x0，25x，0 x1，其中 aR.若 f52 f
9、92，则 f(5a)的值是_【解析】(1)f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)12 0166336.又 f(2 017)f(1)1.f(1)f(2)f(3)f(2 017)337.(2)由题意可得 f52 f12 12a，f92 f12 2512 110，则12a 110，a35，故 f(5a)f(3)f(1)13525.【答案】(1)337(2)25【方法规律】
10、(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值(2)函数周期性的三个常用结论：若 f(xa)f(x)，则 T2a，若 f(xa)1f（x），则 T2a，若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0)跟踪训练 2 设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x当0 x 时，f(x)0，则 f236_【解析】f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期 T2，又当 0 x时，f(x)0，f560，即 f6 f6 sin6 0，f6 12，f236f46 f6 12.【答案】12题型三 函
11、数性质的综合应用 命题点1 函数奇偶性的应用【例3】(1)(2016河北衡水中学一调)已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)()A1 B1 C5D5【答案】(1)D(2)1(2)(2015课标全国)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_【解析】(1)设 F(x)f(x)x，由已知函数 yf(x)x 是偶函数，得 F(x)F(x)，即 f(x)xf(x)x，f(x)f(x)2x，f(2)f(2)225.(2)f(x)为偶函数，则 ln(x ax2)为奇函数，所以 ln(x ax2)ln(x ax2)0，即 ln(ax2x2)0，a1.命题点 2 单调性与奇偶性、周
12、期性结合【例 4】(1)(2017石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为()A(1，4)B(2，0)C(1，0)D(1，2)(2)(2016江苏徐州沛县歌风中学期中)设 f(x)是定义在 R 上周期 为 4 的 奇 函 数，若 在 区 间 2，0)(0，2 上，f(x)axb，2x0，ax1，0 x2，则 f(2 015)_【解析】(1)f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a1 1，即a4a10，解得1a4，故选 A.(2
13、)设 0 x2，则2x0，f(x)axb.f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，所以 f(x)f(x)ax1axb，所以 b1.而 f(2)f(2)，所以2a12a1，解得 a12，所以 f(2 015)f(1)112112.【答案】(1)A(2)12【方法规律】(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：()f(x)为偶函数f(x)f(|x|)()若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.跟踪训练3(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_(2)已知f(x)是定义在R上的
14、奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_【解析】(1)函数 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，故 f(x)f(x)，即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得 ln 1e3xe3xe6x2axln e2ax，即 1e3xe3xe6xe2ax，整理得 e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，解得 a32.(2)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又当 x0 时，x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0)，f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，x0.当x0时，由f(x)x得x
15、24xx，解得x5；当x0时，f(x)x无解；当x0时，由f(x)x得x24xx，解得5x0.综上得不等式f(x)x的解集用区间表示为(5，0)(5，)【答案】(1)32(2)(5，0)(5，)易错警示系列 2忽视定义域致误【典例】(1)若函数 f(x)k2x1k2x在定义域上为奇函数，则实数 k_(2)已知函数 f(x)x21，x0，1，x0，则满足不等式 f(1x2)f(2x)的 x 的取值范围是_【易错分析】(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误：由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误【解析】(1)f(x)k
16、2x1k2xk2x12xk，f(x)f(x)（k2x）（2xk）（k2x1）（1k2x）（1k2x）（2xk）（k21）（22x1）（1k2x）（2xk）.由 f(x)f(x)0 可得 k21，k1.(2)画出 f(x)x21，x0，1，x0的图象，由图象可知，若 f(1x2)f(2x)，则1x20，1x22x，即1x1，1 2x1 2，得 x(1，21)【答案】(1)1(2)(1，21)【温馨提醒】(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并集还是交集.方法与技巧 1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性 3在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用 失误与防范 1f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验 2判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.
