1、第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1D.1答案B解析双曲线1的离心率e.2平面上有两个定点A、B及动点P，命题甲：“|PA|PB|是定值”，命题乙“点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当|PA|PB|AB|时，点P的轨迹是一条射线，故甲乙，而乙甲，故选B.3设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程
2、为()A.1B.1C.1D.1答案B解析抛物线焦点为(2,0)，2，又，m4，n.4已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，故选A.5若是任意实数，则方程x2y2sin4表示的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆答案C解析sin可以等于1，这时曲线表示圆，sin可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆6(2015湖北文，9)将离心率为e1的双曲线
3、C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a、b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a、b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2答案B解析不妨设双曲线C1的焦点在x轴上，即其方程为：1，则双曲线C2的方程为：1，所以e1，e2，当ab时，0，所以，所以22，所以e2e1；当ab时，0，所以，所以22，所以e20，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()ABC1D答案C解析由已知得右焦点F(c,0
4、)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)，A2(a,0)；B(c，)，C(c，)；从而A1B(ca，)，(ca，)，又因为A1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)()()0；化简得到11，即双曲线的渐进线的斜率为1；故选C.9设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B5C.D.答案D解析双曲线1的一条渐近线方程为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以240，所以2，e，故选D.10在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦的方程是()Ax4y30Bx4y30C4xy30D4xy30答案C解析设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，
5、(x2，y2)，(x1x2)，则y8x1，y8x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又y1y22，4，弦所在直线的斜率为4，又过点(1，1)，所求直线方程为4xy30.11动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析直线x20恰好为抛物线y28x的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)12椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A，B，C，1D，1答案B解析利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范
6、围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值由题意可得A1(2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为2时，直线PA2的方程为y2(x2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x264x520，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P(，)，此时直线PA1的斜率k.同理，当直线PA2的斜率为1时，直线PA2方程为y(x2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x216x40，解得x2或x.由点P在椭圆上得点P(，)，此时直线PA1的斜率k.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是，二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、
7、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_答案解析AB2c4，c2.又ACCB5382a，a4.即椭圆的离心率为.14已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_答案x21解析首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出a，b的值由题意可知抛物线的准线方程为x2，双曲线的半焦距c2.又双曲线的离心率2，a1，b，双曲线的方程为x21.15抛物线形拱桥的跨度是20m，拱高是4m，每隔4m用一支柱支撑，其中最长支柱的长是_答案3.84 m解析如图，建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为：x22py(p0)点A(10，4)在抛物线上，1008p，
8、p，x225y，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B(x0，y0)，由题意知x02，y0，最长的支柱长为43.84(m)16以下四个关于圆锥曲线的命题：设A、B为两个定点，k为非零常数，|k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中正确命题的序号是_答案解析双曲线的定义是：平面上与两个定点A，B的距离的差的绝对值为常数2a，且02a0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解析如图所示，抛物线y22px(p0)的准
9、线为x，A(x1，y1)、B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA、dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp，x1x2p.当x1x2时，|AB|2p0，b0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M，求抛物线和双曲线的方程解析抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，与双曲线1(a0，b0)的一个交点为M，设抛物线方程为y22px(p0)，将点M坐标代入得p2，y24x，其准线为x1，抛物线的准线过双曲线的一个焦点，双曲线的焦点为(1,0)且点M在双曲线上，a2，b2，则双曲线的方程为4x21.21(本题满分12分)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以
10、C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：设A，B两点的坐标分别为(xA，xB)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.22(本题满分14分)(2015陕西文，20)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题意知，b1由a2b2c2，解得a，得椭圆的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，化简得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，则x1x2，x1x2，由已知0, 从而直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ.化简得，kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.
