1、2016-2017学年广西钦州市钦州港区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题14位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A12种B24种C30种D36种2某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A50种B70种C35种D55种3某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（）A45种B36种C28种D25种4某公园现有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童
2、必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有（）A48B36C30D185一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A互斥事件B不相互独立事件C对立事件D相互独立事件6已知随机变量 的分布列为P（=k）=（ k=1，2，），则 P（2x4）为（）ABCD7设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（）ABCD8节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒
3、为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）ABCD9设随机变量服从正态分布N（2，2），若P（c）=a，则（4c）等于（）AaB1aC2aD12a10给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好；设随机变量服从正态分布N（4，22），则p（4）=对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大其中正确的说法是（）ABCD11某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩N（90，a2），（a0试卷满分15
4、0分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A200B300C400D60012已知随机变量服从正态分布N（3，2），若P（2）=0.3，则P（24）的值等于（）A0.5B0.2C0.3D0.4二、填空题13二项式（1+x）6的展开式的中间项系数为 14（1+x）5（1）5的展开式中的x项的系数等于 15冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？16若回归直线方程中的回归系数=0时，则相关系数r= 三
5、、解答题17设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线（）求a、b的值；（）试比较f（x）与g（x）的大小18已知函数f（x）=k（x1）ex+x2（）当时k=，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f（x）图象的上方，求k的取值范围；（）当kl时，求函数f（x）在k，1上的最小值m19已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bn=an+12an2（n1）（）求数列an，bn的通项公式（）证明：数列bn中的任意三项不可能成等
6、差数列20设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积21自地面垂直向上发射火箭，火箭的质量为m，试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功22设f（x）=ln（1+x）xax2（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间上有单调递增的区间2016-2017学年广西钦州市钦州港区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题14位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A12种B2
7、4种C30种D36种【考点】D3：计数原理的应用【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有22种结果，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，余下的两个人各有两种选法，共有22=4种结果，根据分步计数原理知共有64=24种结果故选B2某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A50种B70种C35种D55种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个分类计数问题，当两项活动分别安排2，4时，有C62A22种结果，当两项活动都
8、安排3个人时，有C63种结果，根据分类加法原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，当两项活动分别安排2，4时，有C62A22=30种结果，当两项活动都安排3个人时，有C63=20种结果，根据分类计数原理知共有30+20=50种结果故选A3某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（）A45种B36种C28种D25种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【分析】确定一步上一级的步数，一步上两级的步数，然后用插空法和相邻问题的解法，解答即可【解答】解：由题意可知一步上一级，有6步；一步上两级有2步；所以一步
9、2级不相邻有C72=21种，一步2级相邻的走法有：7种；共有21+7=28种故选C4某公园现有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有（）A48B36C30D18【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】第一类，若2个儿童全乘A船，则需要选出一个大人陪同，且另外两个大人一人乘B，一人乘C，第二类，若2个儿童一个乘A船，另一个乘B船，则3个大人必须每人一船，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：若2个儿童全乘A船，则需要选出一个大人陪同，且另外两个大人一人乘
10、B，一人乘C，故乘船方法A22 =6种若2个儿童一个乘A船，另一个乘B船，则3个大人必须每人一船，故乘船方法有=12 种，故所有的不同的安排方法有6+12=18种故选：D5一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A互斥事件B不相互独立事件C对立事件D相互独立事件【考点】C8：相互独立事件；C4：互斥事件与对立事件【分析】直接利用互斥事件与对立事件以及对立事件的定义判断即可【解答】解：由互斥事件与对立事件定义可知互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生，相互独立事
11、件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件所以一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是不相互独立事件故选B6已知随机变量 的分布列为P（=k）=（ k=1，2，），则 P（2x4）为（）ABCD【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果【解答】解：P（X=k）=，k=1，2，P（2X4）=P（X=3）+P（X=4）=+=故选
12、A7设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（）ABCD【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】根据X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果【解答】解：X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品故P（X=3）=，故选：C8节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】设两串彩灯
13、第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： =故选C9设随机变量服从正态分布N（2，2），若P（c）=a，则（4c）等于（）AaB1aC2aD12a【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（4c）
14、=1p（c），得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），对称轴是：=2，又4c与c关于=2对称，由正态曲线的对称性得：p（4c）=1p（c）=1a故选B10给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好；设随机变量服从正态分布N（4，22），则p（4）=对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大其中正确的说法是（）ABCD【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，即可判断；根据
15、R2的性质进行判断；设随机变量服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，可得结论【解答】解：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故错误；在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好，故正确；设随机变量服从正态分布N（4，22），则函数图象关于x=4对称，则P（4）=，故正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小，故错误故选：B11某校在模块考试中约有1000人参加考
16、试，其数学考试成绩N（90，a2），（a0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A200B300C400D600【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数【解答】解：成绩N（90，a2），其正态曲线关于直线x=90对称，又成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为
17、总人数的（1）=，此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：故选A12已知随机变量服从正态分布N（3，2），若P（2）=0.3，则P（24）的值等于（）A0.5B0.2C0.3D0.4【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案【解答】解：P（2）=P（4）=0.3，P（24）=1P（2）P（4）=0.4故选：D二、填空题13二项式（1+x）6的展开式的中间项系数为20【考点】DB：二项式系数的性质【分析】利用二项式定理得到中间项是第4项，利用二项展开式的通项公式求出第4项的系数【解答】解：利用二项式定理知展开式共7项，所以中间项是第
18、4项，故二项式（1+x）6的展开式的中间项系数为C63=20，故答案为：2014（1+x）5（1）5的展开式中的x项的系数等于10【考点】DB：二项式系数的性质【分析】（1+x）5（1）5的展开式中的x项的系数等于展开式中的x项的系数等于左边的次数与右边次数和为1的所有项的系数和，由此规律计算出答案【解答】解：（1+x）5的展开式的通项公式为C5rxr，（1）5的展开式的通项公式为（1）kC5kxk，展开式中x项的系数等于C51C50C52C51+C53C52C54C53+C55C54=550+10050+5=10故答案为：1015冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备
19、生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？【考点】BH：两个变量的线性相关【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的【解答】解：由已知数据得到如下22列联表由公式K2=13.11，由于13.1110.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的16若回归直线方程中的回归系数=0时，则相关系数r=0【考点】BK：线性回归方程【分析】本题考查的知识是线性回归方程的回归系数与相关指
20、数的关系，我们由相关指数的计算公式，与回归系数的计算公式，易得，当=0时，公式的分子为零，此时相关系数的分子也为0，即可得到结果【解答】解：由于在回归系数的计算公式中，与相关指数的计算公式中，它们的分子相同，故 答案为：0三、解答题17设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线（）求a、b的值；（）试比较f（x）与g（x）的大小【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）首先求出函数f（x）的图象与x轴的交点坐标（1，0），代入函数g（x）后得到关于a，b的等式，再由两函数在
21、（1，0）处由公切线，得到关于a，b的另一等式，两式联立即可求得a，b的值；（）令辅助函数F（x）=f（x）g（x），把函数f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其导函数，由导函数可知F（x）在定义域（0，+）内是减函数，然后分0x1，x=1，x1进行大小比较【解答】解：（）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函数f（x）=lnx的图象与x轴的交点坐标是（1，0），依题意，得g（1）=a+b=0 又，f（x）与g（x）在点（1，0）处有公切线，g（1）=f（1）=1，即ab=1 由、得a=，； （）令F（x）=f（x）g（x），则，函数F（x）的定义域为（0，+）0，函数F（x）在（0，
22、+）上为减函数当0x1时，F（x）F（1）=0，即f（x）g（x）；当x=1时，F（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；当x1时，F（x）F（1）=0，即f（x）g（x）综上可知，当0x1时，f（x）g（x）；当x1时，f（x）g（x）18已知函数f（x）=k（x1）ex+x2（）当时k=，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f（x）图象的上方，求k的取值范围；（）当kl时，求函数f（x）在k，1上的最小值m【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）k=时
23、，f（x）=（x1）ex+x2，得f（x）=x（2ex1 ），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（）f（x）=kx（ex+）x2+（k+2）x，即：kxexx2kx0，令h（x）=kexxk，讨论当k0时，当0k1时，当k1时，从而综合得出k的范围；（）f（x）=kx（ex+），令f（x）=0，得：x1=0，x2=ln（），令g（k）=ln（）k，则g（k）=10，得g（k）在k=1时取最小值g（1）=1+ln20，讨论当2k1时，当k=2时，当k2时的情况，从而求出m的值【解答】解：（）k=时，f（x）=（x1）ex+x2，f（x）=x（2ex1 ），f（1）=1，f（1）=1，
24、函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（）f（x）=kx（ex+）x2+（k+2）x，即：kxexx2kx0，x0，kexxk0，令h（x）=kexxk，h（x）=kex1，当k0时，h（x）在x0时递减，h（x）h（0）=0，符合题意，当0k1时，h（x）在x0时递减，h（x）h（0）=0，符合题意，当k1时，h（x）在（，lnk）递减，在（lnk，0）递增，h（lnk）h（0）=0，不合题意，综上：k1（）f（x）=kx（ex+），令f（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（），令g（k）=ln（）k，则g（k）=10，g（k）在k=1时取最小值g（1）=1+ln20，x2=ln（
25、）k，当2k1时，x2=ln（）0，f（x）的最小值为m=minf（0），f（1）=mink，1=1，当k=2时，函数f（x）在区间k，1上递减，m=f（10=1，当k2时，f（x）的最小值为m=minf（x2 ），f（1），f（x2 ）=2ln（）1+ln（）2=2x2+21，f（1）=1，此时m=1，综上：m=119已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bn=an+12an2（n1）（）求数列an，bn的通项公式（）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列【考点】8H：数列递推式；81：数列的概念及简单表示法；8F：等差数列的性质【分析】（1）对化简整理得，令cn=1
26、an2，进而可推断数列cn是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得cn，则a2n可得，进而根据anan+10求得an（2）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn为等比数列，于是有brbsbt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾【解答】解：（）由题意可知，令cn=1an2，则又，则数列cn是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，anan+10故因为=，故（）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列
27、，于是有2bs=br+bt成立，则只有可能有2br=bs+bt成立，化简整理后可得，2=（）rs+（）ts，由于rst，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列20设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【考点】6G：定积分在求面积中的应用；63：导数的运算【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案（2）根据定积分的定义可得答案【解答】解：（1）f（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，根据f（
28、x）=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）S=21自地面垂直向上发射火箭，火箭的质量为m，试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功【考点】67：定积分【分析】根据地球吸引物体的力为f（r）=mg，以及定积分的应用即可求出【解答】解：地球吸引物体的力为f（r）=mg，其中m表示物体的质量，R表示地球的半径，r表示地球中心到物体的距离将R，R+h分成n等份，得ri=，ri=R+i故f（ri）=mg故物体用以克服地球引力所做的功为W=f（ri）ri=mg=mg2ri=mg2dr=mg2（）22设f（x）=ln（1+x）xax2（1）当x=1时，f（x）取到极值
29、，求a的值；（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间上有单调递增的区间【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间，上有单调递增的区间，即f（x）0时在，上有解，解含参数的不等式【解答】解：（1）由题意知f（x）的定义域为（1，+），且f（x）=12ax=，当x=1时，f（x）取到极值，f（1）=0，解得a=；当a=时，f（x）=在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，f（x）=在（1，+）上大于0，f（x）是增函数，f（1）是函数的极小值，a的值为；（2）要使f（x）在区间，上有单调递增的区间，即f（x）0在，上有解，2ax+（2a+1）0；（i）当a=0是，有10，上述不等式恒成立，a=0满足条件；（ii）当a0时，有x，此时只要，解得：a，取a0；（iii）当a0时，有x，此时只要，解得：a1，取1a0；综上，a满足的条件是：a（1，+）2017年8月10日
