1、专练15高考大题专练(一)导数的应用命题范围:导数的应用、导数的几何意义1.2021湖北黄冈中学测试已知函数f(x)|xa|lnx(a0)(1)讨论f(x)的单调性;(2)比较与的大小(nN*且n2),并证明你的结论2.2021全国乙卷设函数f(x)ln (ax),已知x0是函数yxf(x)的极值点(1)求a;(2)设函数g(x),证明:g(x)1.3.2020全国卷设函数f(x)x3bxc,曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.4.2021全国甲卷已知a0且a1,函数f(x)(x0)(1)当a2时
2、,求f(x)的单调区间;(2)若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点,求a的取值范围5.2020全国卷已知函数f(x)exax2x.(1)当a1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)x31,求a的取值范围专练15高考大题专练(一)导数的应用1解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,)函数f(x)可化为f(x)当0xa时,f(x)10,所以f(x)在(0,a)上单调递减当xa时,f(x)1,此时要考虑a与1的大小若a1,则f(x)0,且f(x)在a,)的任意子区间内都不恒等于0,故f(x)在(a,)上单调递增;若0a1,则当ax1时,f(x)1时,f(x)0,故f(x)在a,1)
3、上单调递减,在(1,)上单调递增,f(x)在xa处连续所以当a1时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增;当0a1时,x1lnx0,即lnxx1,所以1.所以当n2,nN*时111n1n1n1n1.2解析:(1)由题意得yxf(x)xln(ax),则yln(ax)xln(ax).因为x0是函数yxf(x)的极值点,所以y|x0lna0,所以a1.(2)由(1)可知,f(x)ln(1x),其定义域为x|x1,当0x1时,ln(1x)0,此时xf(x)0,当x0,此时xf(x)0.易知g(x)的定义域为x|x1且x0,故要证g(x)xf(x),即证xln(1x)xln(1x)0.令
4、1xt,则t0且t1,则只需证1tlnt(1t)lnt0,即证1ttlnt0.令h(t)1ttlnt, 则h(t)1lnt1lnt,所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以h(t)h(1)0,即g(x)0),f(x)(x0),令f(x)0,则0x,此时函数f(x)单调递增,令f(x),此时函数f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点,可转化为方程1(x0)有两个不同的解,即方程有两个不同的解设g(x)(x0),则g(x)(x0),令g(x)0,得xe,当0x0,函数g(x)单调递增,当xe时,g(x
5、)e时,g(x),又g(1)0,所以01且ae,即a的取值范围为(1,e)(e,)5解析:(1)当a1时,f(x)exx2x,f(x)ex2x1.故当x(,0)时,f(x)0.所以f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增(2)f(x)x31等价于ex1.设函数g(x)ex(x0),则g(x)exxx2(2a3)x4a2exx(x2a1)(x2)ex.()若2a10,即a,则当x(0,2)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)1,故当x(0,2)时,g(x)1,不合题意()若02a12,即a,则当x(0,2a1)(2,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2a1),(2,)单调递减,在(2a1,2)单调递增由于g(0)1,所以g(x)1当且仅当g(2)(74a)e21,即a.所以当a时,g(x)1.()若2a12,即a,则g(x)ex.由于0,故由()可得ex1.故当a时,g(x)1.综上,a的取值范围是.