1、专练15高考大题专练(一)导数的应用命题范围：导数的应用、导数的几何意义1.2021湖北黄冈中学测试已知函数f(x)|xa|lnx(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)比较与的大小(nN*且n2)，并证明你的结论2.2021全国乙卷设函数f(x)ln (ax)，已知x0是函数yxf(x)的极值点(1)求a；(2)设函数g(x)，证明：g(x)1.3.2020全国卷设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.4.2021全国甲卷已知a0且a1，函数f(x)(x0)(1)当a2时
2、，求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围5.2020全国卷已知函数f(x)exax2x.(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x31，求a的取值范围专练15高考大题专练(一)导数的应用1解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)函数f(x)可化为f(x)当0xa时，f(x)10，所以f(x)在(0，a)上单调递减当xa时，f(x)1，此时要考虑a与1的大小若a1，则f(x)0，且f(x)在a，)的任意子区间内都不恒等于0，故f(x)在(a，)上单调递增；若0a1，则当ax1时，f(x)1时，f(x)0，故f(x)在a,1)
3、上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)在xa处连续所以当a1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增；当0a1时，x1lnx0，即lnxx1，所以1.所以当n2，nN*时111n1n1n1n1.2解析：(1)由题意得yxf(x)xln(ax)，则yln(ax)xln(ax).因为x0是函数yxf(x)的极值点，所以y|x0lna0，所以a1.(2)由(1)可知，f(x)ln(1x)，其定义域为x|x1，当0x1时，ln(1x)0，此时xf(x)0，当x0，此时xf(x)0.易知g(x)的定义域为x|x1且x0，故要证g(x)xf(x)，即证xln(1x)xln(1x)0.令
4、1xt，则t0且t1，则只需证1tlnt(1t)lnt0，即证1ttlnt0.令h(t)1ttlnt, 则h(t)1lnt1lnt，所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(t)h(1)0，即g(x)0)，f(x)(x0)，令f(x)0，则0x，此时函数f(x)单调递增，令f(x)，此时函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，可转化为方程1(x0)有两个不同的解，即方程有两个不同的解设g(x)(x0)，则g(x)(x0)，令g(x)0，得xe，当0x0，函数g(x)单调递增，当xe时，g(x
5、)e时，g(x)，又g(1)0，所以01且ae，即a的取值范围为(1，e)(e，)5解析：(1)当a1时，f(x)exx2x，f(x)ex2x1.故当x(，0)时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)f(x)x31等价于ex1.设函数g(x)ex(x0)，则g(x)exxx2(2a3)x4a2exx(x2a1)(x2)ex.()若2a10，即a，则当x(0,2)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而g(0)1，故当x(0,2)时，g(x)1，不合题意()若02a12，即a，则当x(0,2a1)(2，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2a1)，(2，)单调递减，在(2a1,2)单调递增由于g(0)1，所以g(x)1当且仅当g(2)(74a)e21，即a.所以当a时，g(x)1.()若2a12，即a，则g(x)ex.由于0，故由()可得ex1.故当a时，g(x)1.综上，a的取值范围是.