1、直线与圆的位置关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离2.已知直线ax-by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在3.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于()A. B. C. D.14.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于()A.或 B.或C.或 D.或5.圆x
2、2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(每小题8分,共24分)6.若直线ax+by=1与C：x2+y2=1相交,则点P(a,b)与C的位置关系是.7.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.8.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则EOF(O为坐标原点)的面积等于.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知圆的方程为x2+y2=4,分别求过下列各点的圆的切线方程.(1)P(,1).(2)Q(4,0).10.已知,圆C：x2+y2-8y+12
3、=0,直线l：ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切.(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=时,求直线l的方程.11.(能力挑战题)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为,半径小于5.(1)求圆C的方程.(2)若直线lPQ,且l与圆C交于点A,B,AOB=90,求直线l的方程.答案解析1.【解析】选B.因为圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为d=1,所以直线与圆相交,又直线y=x+1不过点(0,0),故选B.2.【解析】选B.因为直线与圆相切,所以d=1,所以a2+b2=c2,所以以|a|,|b|,|c|为三边的三角形是直角三角形.
4、3.【解题指南】解决本小题要先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,然后利用弦长公式|AB|=求解即可.【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以|AB|=.4.【解析】选A.圆化为标准方程为(x-1)2+y2=3,由题意知,所以m=或m=.5.【解析】选C.圆的圆心(-1,-2),半径R=,而圆心到直线x+y+1=0的距离为.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有3个.【举一反三】若把条件改为“圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为1的点”共有几个?【解析】有4个.因为圆的圆心(-1,-2),半径R=
5、,而圆心到直线x+y+1=0的距离为,则直线的两侧各有两个点.6.【解析】由已知得1,从而知P(a,b)在已知圆x2+y2=1外.答案：在圆外7.【解题指南】设出圆的标准方程,得出圆心坐标和半径的关系,再代入已知点.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆C经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2.又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得b=,r=,所以圆的方程为(x-2)2+()2=.答案：(x-2)2+()2=【变式训练】由直线y=x+1上的一点向圆C：(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小
6、值为.【解析】设过直线y=x+1上的点P作切线,切圆C于A,则PA2=PC2-1,所以要求切线长的最小值,也就是求PC的最小值,又(PC)min=,所以(PA)min=.答案：8.【解析】圆心O1(2,-3)到直线l：x-2y-3=0的距离为,则EF=4,O到l的距离d=.故SEOF=dEF=.答案：9.【解题指南】先判断点在圆上还是在圆外,再选用恰当的方法求切线方程.【解析】(1)因为()2+12=4,所以点P在圆C上,从而P是切点.又过圆心O与点P的直线斜率kOP=,所以切线的斜率k=.故所求切线方程为y-1=,即x+y-4=0.(2)因为42+024,所以点Q在圆外,可设切线方程为y=k
7、(x-4),即kx-y-4k=0.因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,从而=2,所以k=.故所求切线方程为y=(x-4),即xy-4=0.10.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2.解得a=.(2)过圆心C作CDAB,则根据题意,得得a=-7或-1.所以直线l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0.11.【解析】(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知得解得或当时,r=5(舍),所以所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.(2)设l的方程为x+y+m=0,由得2x2+(2m-2)x+m2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-m,x1x2=.因为AOB=90,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,所以m2+m-12=0,所以m=3或-4(均满足0),所以l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0.
