1、学案3 不等式选讲考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点4考点5考点6考 纲 解 读 基本算法语句(1)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR).|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.返回目录1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合.2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的交
2、、并、补运算.3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法.考 向 预 测 返回目录1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特别要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b|;|a-b|=|a|+|b|.ab0 ab0 返回目录2.|ax+b|c;|ax+b|c;解|x-c|+|x-b|a采用方法.3.证明不等式的常用方法(1)比较法:分比较法和两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数类的用作商比较法.(2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是“”.常用到以下不等:a20,(ab)20,a2+b22ab(a,bR),(a,bR+)
3、.ab2b+aax+b-c或ax+bc -cax+bc 零点划分法作差作商比较法由因导果返回目录(3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.这是一种“”的方法.(4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“”，使其恰到好处.(5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性.(6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的，考虑用反证法.执果索因度返回目录考点1|ax+b|c(c)型不等式的解法解不等式:(1)|2x-5|8;(
4、2)|2-3x|7.【分析】利用绝对值的意义,将绝对符号去掉.返回目录【解析】(1)由原不等式得-82x-58.-x .原不等式的解集为x|-x .(2)由原不等式得3x-27或3x-23或x3或x-.21323213233535返回目录含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值.在变形过程中要特别注意保证同解,同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰;区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括在内.返回目录解不等式:3|x-2|9.解法一:原不等式等价于|x-2|3,|x-2|9.x-23或x-2-3,x5或x-1,-9x-29,-7x11.原不等式的解集
5、为x|-7x-1或5x11.即返回目录解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.x-20,x-20,3x-29,32-x9.不等式组（1）的解集为x|5x11.不等式组(2)的解集为x|-7x-1.原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.(1)(2)返回目录解法三：不等式3|x-2|9的几何意义是表示在数轴上到2的距离大于或等于3且小于9的点的集合.如图所示.原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.返回目录考点2|x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法解不等式:|x-1|+|x+2|5.【分析】这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为不含绝对值符号的不等式,要对未知
6、数x进行分类讨论,即用“零点划分法”将实数分成x-2,-2x1和x1三个部分进行讨论.【解析】解法一:用“零点划分法”将实数分类：令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2.(1)当x-2时,原不等式化为:-x+1-x-2-3.-3x-2.返回目录(2)当-2x1时,原不等式化为:-x+1+x+25,即35恒成立.-2x1也是原不等式的解集.(3)当x1时,原不等式化为:x-1+x+25,即x2.1x2.综合(1)(2)(3)可知:原不等式的解集为:x|-3x2.返回目录解法二:不等式|x-1|+|x+2|5表示数轴上与点A和点两点距离之和小于5的点的集合,而A,B间距离为3,因此,线段AB
7、上每一点到A,B的距离之和等于3.如图12-3-1所示.要找到与A,B距离之和为5的点,只需由点B向左移1个单位(此时距离之和增加2个单位),即移到点B1,或由点A向右移1个单位,移到点A1.可以看出,数轴上点B1向右和点A1向左之间的点到A,B距离之和小于5.原不等式的解集为x|-3x2.返回目录解法三:分别作函数y1=|x-1|+|x+2|-2x-1(x-2)3(-2x1)2x+1(x1)和y2=5的图象,如图所示,不难看出,要使y1y2,只需-3x2.原不等式的解集为x|-3x2.=返回目录解这类含两个绝对值符号,且绝对值符号里是一次式的不等式,一般解法有三种,分别是“零点划分法”“利用
8、绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”.返回目录设不等式|x+1|+|x-2|x+1|+|x-2|无解,即k|x+1|+|x-2|恒成立,可知k3.即所求k的范围是(3,+).返回目录考点3 不等式的证明比较法已知a，b，m，nR+.求证:am+n+bm+nambn+anbm.【证明】am+n+bm+n-ambn-anbm=am(an-bn)+bm(bn-an)=(am-bm)(an-bn),y=xn,y=xm在(0,+)上是增函数，当ab时，ambm,anbn;当ab时，ambm,anbn,ambm.返回目录求证:x2+53x.证明:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x-+0,x2+53
9、x.2)23(411411返回目录考点4 不等式的证明综合法、分析法若a,b,c均为正数，求证：.【分析】证明时可用分析法，也可用综合法.【证明】证法一:欲证只要证只要证只要证(a+b+c).23b+ac+c+ab+c+ba,23b+ac+c+ab+c+ba,29+b+ac+1+c+ab+1+c+ba1,29b+ac+b+a+c+ac+b+a+c+bc+b+a)b+a1+c+a1+c+b1(29返回目录(a+b+c)=(b+c)+(a+c)+(a+b)=,故原不等式成立.)b+a1+c+a1+c+b1()b+a1+c+a1+c+b1(212133b)+c)(a+c)(a+(b13b)+c)(a
10、+c)(a+(b329返回目录证法二：=(a+b+c)-3=(b+c)+(a+c)+(a+b)-3-3=,.3-b+ac+b+a+c+ac+b+a+c+bc+b+ab+ac+c+ab+c+ba21)b+a1+c+a1+c+b1()b+a1+c+a1+c+b1(292323b+ac+c+ab+c+ba返回目录(1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于找到解题途径.(2)本题证法二 是综合法,运用分析法易于找到
11、思路,但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径,用综合法书写证明过程.返回目录2010年高考辽宁卷已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+（）26 ,并确定a,b,c为何值时，等号成立.c1b1a13【证明】证法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c23(abc),3(abc),所以9(abc).故a2+b2+c2+3(abc)+9(abc).3232c1b1a131c1b1a12c1b1a13232返回目录又3(abc)+9(abc)2=6,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)时,式等号成立.故当且仅当a=b=c
12、=3时,原不等式等号成立.3232273323241返回目录证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac.同理故所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，式等号成立.故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立.ac1bc1ab1c1b1a122236ac3bc3ab3abbcacc1b1a1cba222241返回目录考点5 不等式的证明放缩法【证明】,2().令k=1,2,3,n，则有2(-0),2(-1),2(-),2(-
13、).以上各式相加得1+2 .证明：不等式1+1-k+k1=1-k-kk11-k-k1112123123n1n1-n2131n1n返回目录用放缩法时，放缩要有目标，才能放缩适度.用放缩法证明不等式的过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩、拆项对比的分项放缩、函数的 单调性放缩、重要不等式的放缩等方法，要注意合理使用，保证不等式的同向传递.返回目录已知a,b,c均为正数,且a+bc,求证:.证明:a+bc,a+b-c0.由真分数的性质，可得c+1cb+1b+a+1a.c+1cb+1b+a+1a.b+1b+a+1ab+a+1b+b+a+1a=b+a+1b+a=c)-b+(a+c+1c)-b+(a+
14、c1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数;(2)证明:方程f(x)=0没有负根.【分析】(1)利用单调性的定义;(2)用反证法.1+x 2-x返回目录【证明】(1)证法一:任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,1且0,-=(-1)0.又x1+10,x2+10,于是f(x2)-f(x1)=-+0.故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.12 x-xa1xa1xa2xa1xa12 x-xa0.1)+1)(x+(x)x-3(x=1)+1)(x+(x1)+2)(x-(x-1)+2)(x-(x=1+x2-x-1+x2-x211221211211221xa2xa1+x2-x-1+x2-
15、x1122返回目录证法二:f(x)=ax+1-(a1).求导得f(x)=axlna+.a1,当x-1时,axlna0,0,f(x)0在(-1,+)上恒成立,f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)设存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,若-1x00,则f(x0)-1与f(x0)=0矛盾.若x01,0,f(x0)1与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.1+x321+x3）（21）+（x31,a-2,0,这与a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于0.236236返回目录1.解含绝对值的不等式,要根据绝对值的意义,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解.对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法.2.在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题:(1)比较法证题通常是进行因式分解或进行配方,利用非负数的性质来进行判断.(2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别,一个是“执因索果”，而另一个则是“执果求因”.返回目录(3)放缩法的要求较高,要想用好它,必须有目标,目标可以从要证的结论中考查.(4)对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基”要求为准.返回目录
