1、8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理课后训练巩固提升一、A组1.下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直,则l;若直线l与平面内的两条相交直线垂直,则l;若直线l与平面内的任意一条直线垂直,则l.A.3B.2C.1D.0解析:不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的,是正确的.答案:B2.如图,如果MC菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直异面D.相交但不垂直解析:连接AC交BD于点O,四边形ABCD为菱形,ACBD.又MC平面ABCD,BD平面ABCD,BDMC.MC
2、AC=C,BD平面AMC.又AM平面AMC,BDAM,MA与BD异面垂直.答案:C3.已知直线a与平面所成的角为50,直线ba,则b与所成的角等于()A.40B.50C.90D.150解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.答案:B4.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是()A.5B.25C.35D.45解析:如图所示,作PDBC于点D,连接AD.PA平面ABC,PABC.又PAPD=P,BC平面PAD,BCAD.在RtACD中,AC=5,CD=3,AD=4.在RtPAD中,PA=8,AD=4,PD=82+42=45.
3、答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段解析:如图所示,由于BD1平面AB1C,故点P一定位于线段B1C上.答案:A6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VCAB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)解析:只要VC平面VAB,即有VCAB;故只要VCVA,VCVB即可.答案:VCVA,VCVB(答案不唯一,只要能保证VCAB即可)7.如图所示,PA垂直于圆O所在的平面,AB是
4、圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.又ACBC,PAAC=A,BC平面PAC,BCAF.AFPC,BCPC=C,AF平面PBC,AFPB.又AEPB,AEAF=A,PB平面AEF,PBEF,故正确.答案:8.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为23,则该四棱柱的侧棱长等于.解析:由题意得tanDBD1=DD1BD=23,因为BD=32,所以DD1=23BD=233
5、2=22.答案:229.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:ACBC1;(2)求证:AC1平面CDB1.证明:(1)在ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC为直角三角形.ACBC.又CC1平面ABC,AC平面ABC,ACCC1.又BCCC1=C,AC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B1,ACBC1.(2)设B1C交BC1于点E,则点E为BC1的中点,连接DE,则在ABC1中,DEAC1.又DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面B1CD.10.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1
6、D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.(1)求证:D1CAC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,图连接C1D,如图.DC=DD1,四边形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC,ADDD1,DCDD1=D,AD平面DCC1D1.D1C平面DCC1D1,ADD1C.AD,DC1平面ADC1,且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1,D1CAC1.(2)解:连接AD1,AE,如图.图设AD1A1D=M,BDAE=N,连接MN,平面AD1E平面A1BD=MN,
7、要使D1E平面A1BD,需使MND1E,又M是AD1的中点,N是AE的中点.又易知ABNEDN,AB=DE,即E是DC的中点.综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.二、B组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB解析:由题意知A1B1平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,A1B1AD1.又A1DAD1,A1B1A1D=A1,AD1平面A1DB1,故选B.答案:B2.如图,=l,点A,C,点B,且BA,BC,那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定
8、解析:BA,=l,l,BAl.同理BCl.又BABC=B,l平面ABC.AC平面ABC,lAC.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63解析:如图,设正方体的棱长为1,上、下底面的中心分别为O1,O,则OO1BB1,O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角,即O1OD1,cosO1OD1=|O1O|OD1|=132=63.答案:D4.若正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为.解析:由题意可知OB=22,PB=1.PBO为PB与平
9、面ABCD所成的角,故cosPBO=OBPB=22.所以PBO=45.答案:455.下列说法中正确的是.(填序号)过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直解析:错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案:6.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中正确的有个.ACSB;AB平面SCD;SA与平面ABCD所成的角是SAD;AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.解析:对于,ACBD,且SD平面ABCD,SDAC.
10、又SDBD=D,AC平面SBD,ACSB,对;对于,ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,AB平面SCD,对;对于,SD平面ABCD,AD是SA在平面ABCD内的射影,SAD是SA与平面ABCD所成的角,对;对于,ABCD,AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角,对,故正确的有4个.答案:47.如图,在RtBMC中,BCM=90,MBC=60,BM=5,MA=3,且MAAC,AB=4,求MC与平面ABC所成角的正弦值.解:因为BM=5,MA=3,AB=4,所以AB2+MA2=BM2,所以MAAB.又因为MAAC,AB,AC平面ABC,且ABAC=A,所以MA平面ABC,所以MCA即为MC
11、与平面ABC所成的角.因为在RtBMC中,MBC=60,所以MC=532,所以sinMCA=MAMC=3532=235.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF平面PAB;(2)设AB=2BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值.(1)证明:PD底面ABCD,PDAB.DAAB,PDAD=D,AB平面PAD,PAAB.取AB的中点G,连接EG,FG.E为CD的中点,EGAB.再由FG为BAP的中位线,可得FGPA,FGAB.AB垂直于平面EFG内的两条相交直线EG,FG,AB平面EFG,ABEF.由AD=P
12、D可得,EP=ED2+PD2=EB=EC2+BC2,故EPB为等腰三角形,故有EFBP.ABBP=B,由可得EF平面PAB.(2)解:不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB=2,PA=2,AC=3.PAB为等腰直角三角形,且PB=2.F是PB的中点,BF=1,AFPB.AFEF=F,PB平面AEF.设BE交AC于点K,过点K作KHPB交EF于点H,则KH平面AEF,连接AH,故KAH为AC与平面AEF所成的角.由EKCBKA可知,EK=12KB,AK=2CK,所以EK=13EB,AK=23AC=233.由EKHEBF,可知KH=13BF=13.所以sinKAH=KHAK=36,所以AC与平面AEF所成角的正弦值为36.
