1、直线与平面垂直的判定（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013成都高一检测)m,n是空间两条不同直线,是空间两个不同平面,下面有四种说法：m,n,mn; mn,mn;mn,mn; m,mn,n.其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.直线a平面M,直线ba,则b与M的位置关系是()A.bM B.bMC.bM D.不能确定3.(2013福州高一检测)已知m是平面的一条斜线,点A,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是()A.lm,l B.lm,lC.lm,l D.lm,l4.(2013汕头高一检测)如图,四棱锥S -ABCD的底面为正方形,
2、SD底面ABCD,则下列说法中不正确的是()A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角5.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的是()A.点H是A1BD的垂心 B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成的角为45二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013南阳高一检测)如图,BC是RtABC的斜边,AP平面ABC,连接PB,PC,作PDBC于D,连接AD,则图中共有直角三角形个.7.(2013大同高二检测)如图,在长
3、方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为.8.如图,在RtABC中,D是斜边AB的中点,AC=6cm,BC=8cm,EC平面ABC,EC=12cm,则ED=cm.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,PC平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成的角的正弦值.10.(2013潍坊高一检测)如图,在四棱锥P -ABCD中,PD平面ABCD,ADCD,且DB平分ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2.(1)证明PA平面BDE.(
4、2)证明AC平面PBD.(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.11.(能力挑战题)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD -A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2.(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位：cm),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?答案解析1.【解析】选B.正确,因为n,所以在内有与n平行的直线,又m,则mn;错误,m
5、m,因为mn,则可能n;错误,因为mn,m,则可能n且m;正确,m,得m,因为mn,则n.2.【解析】选D.b和a垂直,则b和平面M的位置关系都有可能.3.【解析】选C.设m在平面内的射影为n,当ln且与无公共点时,lm,l.4.【解析】选D.四棱锥S -ABCD的底面为正方形,所以ACBD,又SD底面ABCD,所以SDAC,从而AC平面SBD,故ACSB,即A正确;由ABCD,可得AB平面SCD,即B正确;选项A中已证得AC平面SBD,又SA=SC,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,即C正确;AB与SC所成的角为SCD,此为锐角,而DC与SA所成的角即AB与SA所成的
6、角,此为直角,二者不相等,故D不正确.5.【解析】选D.因为三棱锥A -A1BD是正三棱锥,所以顶点A在底面的射影H是底面的垂心,所以选项A正确;易证平面A1BD平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以AH垂直平面CB1D1,所以选项B正确;连接正方体的体对角线AC1,则它在各面上的射影分别垂直于BD,A1B,A1D等,所以AC1平面A1BD,则直线AC1与AH重合,所以选项C正确.故选D.6.【解析】由题意可知RtPAB,RtPAC,RtABC,RtADP,RtPDB,RtPDC.又可证BC平面APD,得BCAD,则可得RtADB,RtADC,共8个.答案：8【误区警示】本题易错在考虑不
7、全,从而证明不出BC平面APD,少查或漏查直角三角形.【变式训练】如图,PA圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中直角三角形的个数是.【解析】由题干图与已知得直角三角形有：PAC,PAB,ABC,PBC.答案：47.【解析】连接A1C1,因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以AA1平面A1B1C1D1,所以A1C1是AC1在平面A1B1C1D1内的射影,所以A1C1A为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.在RtAA1C1中,AA1=1,AC1=3,所以sinA1C1A=.答案：8.【解析】因为EC平面ABC,CD平面ABC,所以ECCD.AB=10cm,因为D是斜边AB
8、的中点,所以CD=AB=5cm,所以ED=13cm.答案：139.【解题指南】过A作BC的垂线,联系PC平面ABCD,利用线面垂直的判定定理可以证明所作垂线与平面PBC垂直.【解析】过A作AHBC于H,连接PH,因为PC平面ABCD,AH平面ABCD,所以PCAH,又PCBC=C,所以AH平面PBC,所以APH为PA与平面PBC所成的角,边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,所以ABC为正三角形,又AHBC,所以H为BC的中点,AH=,因为PC=AC=2,所以PA=2,所以sinAPH=,故PA与平面PBC所成的角的正弦值为.10.【解析】(1)设ACBD=H,连接EH.在ADC中,因为AD
9、=CD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点,又因为E为PC的中点,故EHPA,又HE平面BDE,PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC,由(1)知,BDAC,PDBD=D,故AC平面PBD.(3)由AC平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由ADCD,AD=CD=1,DB=,可得DH=CH=,BH=,在RtBHC中,tanCBH=,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.11.【解析】(1)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,所以AA2AB,AA2AD.又ABA
10、D=A,所以AA2平面ABCD.连接BD,因为BD平面ABCD,所以AA2BD.根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面ABCD平面BB1D1D=BD,平面BB1D1D平面A1B1C1D1=B1D1.所以BDB1D1,于是由AA2BD,ACBD,BDB1D1,可得AA2B1D1,ACB1D1.又AA2AC=A,所以直线B1D1平面ACC2A2.(2)由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S1=(A2B2)2+4ABAA2=102+41030=1300(cm2).又四棱台A1B1C1D1-ABCD的下底面是正方形,侧面是全等的等腰梯形,设四棱台侧面的高为h,所以S2=(A1B1)2+4(AB+A1B1)h2=202+2(10+20)=1120(cm2).所以S=S1+S2=2420(cm2).故需加工处理费24200.2=484(元).【方法锦囊】解决线面垂直问题的注意点解决线面垂直问题要注意利用空间几何体的特征,发现隐含的或题目中可以推出的线线垂直关系,结合空间想象能力利用线线垂直达到线面垂直,再结合题意求出其他要求的结果.关闭Word文档返回原板块。7
