1、7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后训练巩固提升1.已知复数z1=2cos12+isin12,z2=3(cos 6+isin 6),则z1z2的代数形式是()A.6cos4+isin4B.6cos12+isin12C.3-3iD.3+3i解析:z1z2=23cos12+6+isin12+6=6cos4+isin4=622+22i=3+3i.故选D.答案:D2.22cos5+isin5的三角形式是()A.22cos5+isin5B.2cos310+isin310C.2cos-5+isin-5D.2cos45+isin45解析:原式=2cos0+isin02cos5+isin5=2c
2、os-5+isin-5,故选C.答案:C3.设3+4i的辐角的主值为,则(3+4i)i的辐角的主值是()A.2+B.2-C.-2D.32-解析:根据复数乘法的几何意义得,(3+4i)i对应的向量是由复数3+4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转2得到的,所以(3+4i)i的辐角的主值为+2,故选A.答案:A4.在复平面内,把与复数a+bi(a,bR)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90后所得向量对应的复数为()A.a-biB.-a+biC.b-aiD.-b+ai解析:所求复数为a+bicos90+isin90=a+bii=-(a+bi)i=b-ai,故选C.答案:C5.设z1=1-2i,z2=
3、1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=()A.2B.32C.52D.72解析:z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i,argz1+argz2+argz3=2+2k,kZ.argz132,2,argz20,2,argz32,argz1+argz2+argz32,72,argz1+argz2+argz3=52.答案:C6.3cos512+isin5126cos56+isin56=.(用代数形式表示)解析:原式=32cos512+56+isin512+56=32cos54+isin54=32-22-22i=-3-3i.答案
4、:-3-3i7.arg(3-i)+arg(2-i)=.解析:(3-i)(2-i)=5-5i=52cos-4+isin-4,arg(3-i)32,2,arg(2-i)32,2,arg(3-i)+arg(2-i)3,4.arg(3-i)+arg(2-i)=-4+4=154.答案:1548.已知复平面内向量AB对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1,现将AB绕点A按顺时针方向旋转90后得到的向量为AC,则点C对应的复数为.解析:向量AC对应的复数为2+icos90+isin90=2+ii=-(2+i)i=1-2i,OC=OA+AC,OC对应的复数为-1+(1-2i)=-2i.即点C对应的复数为-2
5、i.答案:-2i9.写出下列复数z的倒数1z的模与辐角:(1)z=10cos3+isin3;(2)z=2sin34+icos34.解:(1)1z=cos0+isin010cos3+isin3=110cos0-3+isin0-3=110cos-3+isin-3.所以1z的模为110,辐角为-3+2k.(2)复数2sin34+icos34=2-2i,r=2,对应的点在第四象限,且cos=22,取=-4,所以2sin34+icos34=2cos-4+isin-4.1z=cos0+isin02cos-4+isin-4=12cos4+isin4.所以1z的模为12,辐角为4+2k.10.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2(0,),求z2的代数形式.解:因为z1=2cos6+isin6,设z2=2(cos+isin),(0,),则z1z22=8cos2+6+isin2+6.由题设知2+6=2k+32(kZ),所以=k+23(kZ).又因为(0,),所以=23,所以z2=2cos23+isin23=-1+3i.