1、北京市朝阳区2005年高三第一次统一考试数学（理工农医类）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）参考公式： 如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 P（AB）=P（A）P（B） 如果事件A在一次试验中发生的球的体积公式 概率是P，那么n次独立重复试验 中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）不等式的解集是（ ） A. B. C.
2、D. （2）在下列给定的区间中，使函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. （3）已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 与平面M成等角 （4）数列的前n项和为，则这个数列一定是（ ） A. 等差数列B. 非等差数列 C. 常数数列D. 等差数列或常数数列 （5）设分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（ ） A. B. C. D. （6）定义运算，则符合条件的复数z为（ ） A. B. C. D. （7）已知函数，则的反函数为（ ） A. B. C. D. （8）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现
3、用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。 （9）函数的最小正周期是_，其图象的相邻两条对称轴之间的距离是_。 （10）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为_，球的表面积为_（不计损耗）。 （11）圆C：（为参数）的普通方程为_，设O为坐标原点，点M（）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为_。 （12）设P（x，y）是图中四边形内的点或四边形边界上的点（即x、y满足的
4、约束条件），则的最大值是_。 （13）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8。现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击。如果只有3发子弹，则射击次数的数学期望为_（用数字作答）。 （14）已知函数是R上的减函数，A（0，-3），B（-2，3）是其图象上的两点，那么不等式的解集是_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分14分） 已知函数 （I）证明：函数是奇函数； （II）求的单调区间。 （16）（本小题满分14分） 已知 （I）求的值； （II）求证：与互相垂直； （III）设且，求的值。 （17）（本小题满分14分） 某
5、篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为，乙队获胜的概率均为。求： （I）甲队以3：0获胜的概率； （II）甲队获得总冠军的概率。 （18）（本小题满分14分） 直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是A1C的中点，且交AC于D，。 （I）证明：平面； （II）证明：平面； （III）求平面与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。 （19）（本小题满分12分） 自点A（0，-1）向抛物线作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线与抛物线C交于不同的两点E、F，直
6、线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点。 （I）求切线AB的方程及切点B的坐标； （II）证明 （20）（本小题满分12分） 把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。 （I）若，求的值； （II）已知函数的反函数为 ，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。朝阳区高三第一次统一考试数学（理工农医类）参考答案及评分标准一. 选择题： 1. C2. A3. D4. B5. D6. A7. C8. B二. 填空题： 9. ，10. 11. ， 12. 213. 1.2414.
7、 三. 解答题： 15. 解：（I）证明：显然的定义域是R。设任意， ，4分 函数是奇函数6分 （II）解：，8分 令，由，解得10分 由此可知，当时， 所以函数的单调增区间是（-1，1）；12分 当或时， 所以函数的单调减区间分别是（，-1），（1，）14分 （写出的区间，无论是否包含端点均可给分。） 16. 解：（I）解：3分 （II）证明： 6分 ， 8分 （III）解： ，10分 ，12分 又 14分 17. 解：（I）设“甲队以3：0获胜”为事件A，则3分 （II）设“甲队获得总冠军”为事件B， 则事件B包括以下结果：3：0；3：1；3：2三种情况 若以3：0胜，则；6分 若以3：1
8、胜，则9分 若以3：2胜，则12分 所以，甲队获得总冠军的概率为14分 18. （I）证： 三棱柱中，1分 又平面，且平面， 平面3分 （II）证： 三棱柱中， 中 是等腰三角形6分 E是等腰底边的中点， 又依条件知 且 由，得平面EDB8分 （III）解： 平面， 且不平行， 故延长，ED后必相交， 设交点为E，连接EF，如下图 是所求的二面角10分 依条件易证明 为中点， A为中点 即12分 又平面EFB， 是所求的二面角的平面角13分 E为等腰直角三角形底边中点， 故所求的二面角的大小为14分 19. 解：（I）由题意可设切线AB的方程为：， 代入得， 点B在第一象限，。切线AB的方程为
9、：2分 切点B的坐标为（1，1）4分 （II）由（I）线段AB的中点M，设直线的方程为， 点E（）、F（）、P（）、Q（） 由得6分 直线与抛物线C交于不同的两点E、F， 。解得或 ， A、P、F共线，8分 10分 同理由A、E、Q共线得 12分 20. 解：（I）三角形数表中前行共有个数， 第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。 故第行最后一个数是2分 因此，使得的m是不等式的最小正整数解。 由得 于是，第45行第一个数是 4分 （II），。 故6分 第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故。 8分 故 ， 两式相减得： 10分 12分 注：1. 如有不同解法，请阅卷老师酌情给分； 2. 两个空的填空题，做对一个给3分。10
